Question

高中数学，圆锥曲线

已知椭圆x²/a²+y²/b²=1（a＞b＞0）的两个焦点分别为F1（-c，0），F2（c，0），过点E（a²/c，0）的直线与椭圆相交于A,B两点，且F1A平行于F2B，F1A=2F2B，求1.椭圆离心率；2.直线AB的斜率；3.设点C与点A关于坐标原点对称，直线F2B上有一点H（m，n）（m不等于0）在△AF1C的外接圆上，求n/m的值

Answer 1

由F1A//F2B且|F1A|=2|F2B|
|EF1|/|EF2|=|F2B|/|F1A|=1/2*(a²/c-c)/(a²/c+c)☞e=√3/3
2）b2＝a2－c2＝2c2
∴ 2x2＋3y2＝6c2
设直线AB：y=k(x-a²/c)=k(x-3c)①，设A（x1，y1）、B（x2，y2）,
2x²+3y²=6c²②,①②☞(2+3k²)x²-18k²cx+27k²c²-6c²=2,Δ>0即-√3/3<k<√3/3
x1+x2=18k²c/(2+3k²)③,x1x2=(27k²c²-6c²)/(2+3k²)④
设B为AE中点，x+3c=2x2⑤
③⑤x1=(9k²c²-2c²)/(2+3k²),x2=(9k²c²+2c²)/(2+3k²)☞k=±√2/3
当x1=0,x2=3c/2,当k=-√2/3,A(0,√2c),B(0,-√2c)
线段AF1的垂直分线l的方程:y-√2c/2=-√2/2*(x+c/2)
直线l与x轴的交点为(c/2,0),是△AF1C的外接圆的圆心
因此外接圆方程(x-c²/2)²+y²=(c+c/2)²
FB:y=√2(x-c) ☞n,m满足一下关系
(n-c²/2)²+m²=(c+c/2)²
m=√2(n-c),m≠0
所以k=－√2/3时，n/m=2√2/5