Question

在等边△ABC中，点D式AC的中点，F是BC的中点，以BD为边做等边△BDE

求证：AB=EF且四边形AEBF为矩形

Answer 1

∵△ABC是等边△
∴AB=BC=AC
∠C=∠ABC=∠BAC=60°
∵点D是AC的中点，F是BC的中点
∴AF是BC边上垂直平分线、高和∠BAC的角平分线
BD是AC边上垂直平分线、高和∠ABC的角平分线
∴∠ABD=∠DBC=∠BAF=∴FAC=30° AF=BD AD=CD=BF=FC
∠AFB=BDA=90° AF⊥BC
∵△BDE是等边△
∴EB=DE=BD=AF ∠EBD=60­°
∴∠EBF=∠EBD+∠DBC=60°+30°=90°
∴∠EBF=∠AFB=90° 即EB⊥BC
在Rt△BEF 和Rt△AFB中
AF=BE BF=BF
∠EBF=∠AFB
∴Rt△BEF ≌Rt△AFB
∴AB=EF
2)∵AF⊥BC EB⊥BC
∴EB∥AF
∵AF=EB
∴四边形AEBF是平行四边形
∵∠EBF=∠AFB=90°
∴ 四边形AEBF是矩形

Answer 2

∠DBC=∠B/2=30 ∠EBF=∠EBD+∠DBC=60+30=90 BF=AD=AB/2,BE=BD △EBF≌△ABD EF=AB F是BC的中点, 所以AF⊥BC,且AF=BD=EB 四边形AEBF为