Question

空间四边形ABCD各边相等，且AC=BD=AB，E、F分别为BC、AD中点。求（1）AC、BD所成角（2）AE、CF所成角余弦值

谢谢！！

Answer 1

连接AC,BD，取AB中点为G，连接EG=EF=GF
由题空间四边形ABCD各边相等，且AC=BD=AB，可得正四面体A-BCD
因为E,F,G为中点
所以EG平行于AC，GF平行于BD
所以∠EGF（或其补角）即为AC,BD所成角的平面角
可求GE=GF=1/2AC
EF=根号（（根号3/2AD）²-（1/2AD）²）=（根号2）/2AD
可求cos∠EGF=（GE²+GF²-EF²）/(2*GE*GF)=0
所以AC垂直于BD

连接ED，取ED中点H连接HC,HF
因为F,H为中点，所以FH平行于AE，FH=1/2AE
所以∠HFC（或其补角）即为所求AE,CF的平面角
可求HC=根号（（（根号3）/4AD）²+（1/2AD）²）=（根号7）/4AD
可求HF=（根号3）/4AD，FC=（根号3）/2AD
cos∠HFC=（HF²+FC²-HC²)/(2*HF*FC)=2/3
所以AE、CF所成角余弦为2/3