Question

sin(A-B)=sinC,三角形ABC为什么三角形

Answer 1

sinC=sin(A+B)
所以有：
sin(A-B)=sin(A+B)
sinAcosB-cosAsinB=sinAcosB+cosAsinB
2sinAcosB=0
因：0<A<180 所以sinA>0
所以有：cosB=0 即：B=90°
综上可得：三角形ABC直角三角形。

Answer 2

(1) A-B=C A=B+C A+B+C=180° A=90° 直角三角形
（2）A-B+C=180° A+C=180°+B不成立
所以三角形ABC为直角三角形

Answer 3

证明：在三角形ABC中，角A，B，C的对边a,b,c，
所以sin`A/sinC = a/c，sinB/sinC = b/c
因此（a^2-b^2)/c^2=[sin^2(A)-sin^2(B)]/sin^2(C)
=[1/2(1-cos2A)-1/2（1-cos2B)]/sin^2(C)
=1/2(cos2B-cos2A)/sin^2(C)
=1/2[-2sin(B+A)sin(B-A)]/sin^2(C)
=sin[180-(B+A)]sin(A-B)/sin^2(C)
=sinCsin(A-B)/sin^2(C)
=sin(A-B)/sinC

所以sin(A-B)/sinC=（a^2-b^2)/c^2=1
即：a^2=b^2+c^2 为直角三角形