Question

如图，在△ABC中，D为AC上一点，CD=2DA，∠BAC=45°，∠BDC=60°，CE⊥BD，E为垂足，连接AE．

Answer 1

（1）写出图中所有相等的线段，并选择其中一对给予证明；

（2）图中有无相似三角形？若有，请写出一对；若没有，请说明理由

解：（1）ED=DA，EA=EB=EC．

证明：

∵CE⊥BD，

∴△CED是直角三角形．

∵∠BDC=60°，

∴∠ECD=30°．

∴CD=2DE．

∵CD=2DA，

∴DE=DA．

有，△ADE∽△AEC．

由（1）的结论可知∠DAE=∠DEA=30°=∠ECA，

∴△ADE∽△AEC．

应该是这样吧！！！     刚好做过

Answer 2

考点：相似三角形的判定与性质；含30度角的直角三角形．

分析：（1）由∠BDC=60°，CE⊥BD，求得∠ECD=30°，根据直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半，即可得CD=2ED，又由CD=2DA，即可证得ED=DA；
（2）由（1）可求得∠EAD=∠DEA=30°，又由∠BAD=45°，即可得∠EAB的度数，然后由∠BDC=∠DBA+∠BAD，求得∠DBA的度数，即可证得∠EAB=∠EBA；
（3）根据有两角对应相等的三角形相似，易证△AED∽△ACE，又由相似三角形的对应边成比例，即可证得BE2=AD•AC．

解答：证明：（1）∵CE⊥BD，
∴∠CED=90°，
又∵∠BDC=60°，
∴∠ECD=30°，（1分）
∴CD=2ED，（1分）
∵CD=2DA，
∴ED=DA；（1分）

（2）∵ED=DA，
∴∠DEA=∠DAE，
∵∠EDC=60°，
∴∠EAD=∠DEA=30°，（1分）
∵∠BAD=45°，
∴∠EAB=15°，（1分）
又∠BDC=∠DBA+∠BAD，
∴∠DBA=15°，
∴∠EAB=∠EBA；（1分）

（3）∵∠EAB=∠EBA，
∴BE=AE，（1分）
∵∠AED=∠ACE，
∴△AED∽△ACE，（1分）
∴
AE
AC
=
AD
AE
，（1分）
∴AE2=AD•AC，
即BE2=AD•AC．（1分）

点评：此题考查了相似三角形的判定与性质，直角三角形的性质等知识．此题综合性较强，难度适中，解题的关键是注意掌握数形结合思想的应用与有两角对应相等的三角形相似，相似三角形的对应边成比例，直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半定理的应用．