Question

在三角形ABC中，∠ACB=45°，点D为射线BC上一动点，（与B、C不重合），连接AD，

以AD为一边在AD右侧作正方形ADEF，（1）如果AB=AC，且点D在线段BC上运动，试判断CF与BD间的位置关系，并证明你的结论（2）如果AB不等于AC，且点D在线段BC延长线上运动，此时（1）中结论是否成立？证明你的结论

Answer 1

解：（1）CF与BD位置关系是垂直；
证明如下：
∵AB=AC，∠ACB=45°，
∴∠ABC=45°．
由正方形ADEF得AD=AF，
∵∠DAF=∠BAC=90°，
∴∠DAB=∠FAC，
∴△DAB≌△FAC（SAS），
∴∠ACF=∠ABD．
∴∠BCF=∠ACB+∠ACF=90°．
即CF⊥BD．
（2）AB≠AC时，CF⊥BD的结论成立．
理由是：
过点A作AG⊥AC交BC于点G，
∴AC=AG，
同理可证：△GAD≌△CAF
∴∠ACF=∠AGD=45°，∠BCF=∠ACB+∠ACF=90°，
即CF⊥BD．

Answer 2

解：（1）CF与BD位置关系是垂直,理由如下：
∵AB=AC，∠ACB=45°，
∴∠ABC=45°．
由□ADEF得AD=AF，
∵∠DAF=∠BAC=90°，
∴∠DAB=∠FAC，
∴△DAB≌△FAC（SAS），
∴∠ACF=∠ABD．
∴∠BCF=∠ACB+∠ACF=90°．
即CF⊥BD．
（2）AB≠AC时，CF⊥BD的结论成立．理由如下：
过点A作AG⊥AC交BC于点G，
∴AC=AG，
同理可得：△GAD≌△CAF
∴∠ACF=∠AGD=45°，∠BCF=∠ACB+∠ACF=90°，
即CF⊥BD．

Answer 3

解：（1）CF与BD位置关系是垂直；
证明如下：
∵AB=AC，∠ACB=45°，
∴∠ABC=45°．
由正方形ADEF得AD=AF，
∵∠DAF=∠BAC=90°，
∴∠DAB=∠FAC，
∴△DAB≌△FAC（SAS），
∴∠ACF=∠ABD．
∴∠BCF=∠ACB+∠ACF=90°．
即CF⊥BD．
（2）AB≠AC时，CF⊥BD的结论成立．
理由是：
过点A作AG⊥AC交BC于点G，
∵∠ACB=45°，
∴∠AGD=45°，
∴AC=AG，
同理可证：△GAD≌△CAF
∴∠ACF=∠AGD=45°，∠BCF=∠ACB+∠ACF=90°，
即CF⊥BD．

（3）过点A作AQ⊥BC交CB的延长线于点Q，
①点D在线段BC上运动时，
∵∠BCA=45°，可求出AQ=CQ=4．
∴DQ=4-x，
△AQD∽△DCP，
∴CP DQ =CD AQ ，
∴CP 4-x =x 4 ，
∴CP=-x2 4 +x．
②点D在线段BC延长线上运动时，
∵∠BCA=45°，
∴AQ=CQ=4，
∴DQ=4+x．
过A作AQ⊥BC，
则△AQD≌△ACF．
∴CF⊥BD，
∴△AQD∽△DCP，
∴CP DQ =CD AQ ，
∴CP 4+x =x 4 ，
∴CP=x2 4 +x．