Question

梯形ABCD中AD‖BC,AD=3,DC=5,AB=4根号2,角B等于45°动点M从B点出发 要完整的过程。

梯形ABCD中AD‖BC,AD=3,DC=5,AB=4倍根2，∠B等于45°，动点M从B点出发沿线段BC，以每秒1个单位长度的速度向终点C运动；动点N同时从C点出发，沿C——D——A，以同样的速度向中点运动，当其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动。设运动的时间为ts。
（1）求在运动过程中形成的三角形MCN的面积S与运动的时间t之间的函数关系式，并写出自变量t的取值范围。当t为何值时，三角形MCN的面积S最大？求出最大面积
（2）当M、N在运动过程中，三角形MCN是否可能为等腰三角形？若可能，求出相应的t值。

Answer 1

做AE、DF分别垂直BC于点EF（图自己画一个）

根据已知条件可算出：

BE=cosB*AB=4 AE=DF=sinB*AB=4
EF=AD=3
FC=√(CD^2-DF^2)=3

故BC=BE+EF+FC=10

根据点C的运动轨迹可将t分为两段，即当0<t≤5和5<t≤8

由于BC=10>AD+CD=8，故点N先到A点，则t的取值范围为0<t≤8

当0<t≤5时，S△MCN=(1/2)sinC*MC*CN

其中sinC=DF/CD=4/5 MC=10-t CN=t

S△MCN=(1/2)*(4/5)*(10-t)t
=(2/5)(10t-t^2)
=-0.4(t^2-10t+25)+10
=-0.4(t-5)^2+10

当t取5是三角形MCN的面积S最大为10

当5≤t≤8时，S△MCN=(1/2)MC*AE 其中MC=10-t

S△MCN=(1/2)MC*AE=(1/2)*(10-t)*4=20-2t

当t取5时三角形MCN的面积S最大为10

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第二问，也分0<t≤5、5≤t≤7、7≤t≤8这三种情况讨论

过程有点复杂，就只写结论了

最后只有当t=5时三角形MCN为等腰三角形