Question

高数，第八题，求过程

Answer 1

证明：
1°必要性
F'(0)
=lim(x→0) [F(x)-F(0)]/(x-0)
=lim(x→0) [f(x)(1+|sinx|) - f(0)(1+|sin0|)]/x
=lim(x→0) [f(x)(1+|sinx|) - f(0)]/x
若要上式成立，必须：
[f(x)(1+|sinx|) - f(0)]/x = F'(0)+o(x)，其中o(x)是关于x的高阶无穷小
f(x)(1+|sinx|) - f(0) = xF'(0)+o(x)
f(x)(1+|sinx|) = xF'(0)+f(0)+o(x)
因此，必有：
lim(x→0) f(x)(1+|sinx|) =lim(x→0) [xF'(0)+f(0)+o(x)] =0
即：
lim(x→0) f(x) =lim(x→0) f(0) =0
∴f(x)在x=0处连续，且f(0)=0
2°充分性
当f(0)=0时，
F'(0)
=lim(x→0) [F(x)-F(0)]/(x-0)

=lim(x→0) [f(x)(1+|sinx|) - f(0)(1+|sin0|)]/x
=lim(x→0) [f(x)(1+0) - 0]/x
=lim(x→0) f(x)/x
=lim(x→0) [f(x)-f(0)]/(x-0)
=f'(0)
∴F(x)在x=0处可导！
证毕！

追问

那个充分性的证明

应该先证明连续吧！

？

追答

可导，必连续，只要证明了F'(0)可导，还证明连续干啥？

追问

之前做过一道题，这个

就是说虽然lim....这个式子存在，但是不一定可导的

所以那个充分性证明，证出来那个lim....式子=f'0，也不一定说明连续吧？

追答

每道题有每道题的条件，岂能胡乱比较？
解：
由题意可知，f(x)在(-δ，δ)内有意义，因此：
f(0)必然存在，
且：|f(0)|≤0²=0
显然：f(0)=0
那么，考查：lim(x→0-) f(x)和lim(x→0+) f(x)
又∵∀x∈(-δ，δ)
|f(x)|<x²
即：
-x²<f(x)<x²
由夹逼准则可知：
lim(x→0-) f(x)和lim(x→0+) f(x)都存在，且：
lim(x→0-) f(x) =lim(x→0+) f(x) =0 = f(0)
∴f(x)在x=0处连续，A错！
f'(0)
=lim(x→0) [f(x)-f(0)]/(x-0)
=lim(x→0) f(x)/x
考查：lim(x→0-) f(x)/x和lim(x→0+) f(x)/x
由题意，当x≠0时，可得：
|f(x)|/|x| < |x|
-x<f(x)/x<x
再由夹逼准则，可得：
lim(x→0-) f(x)/x = lim(x→0+) f(x)/x =0
即：
f'(0)
=lim(x→0) f(x)/x
=0
∴B和D错！
选C

追问

？？你发错了吧

追答

不好意思！
本题陷阱之一就是：
lim(Δx→0) [f(x0+Δx) - f(x0-Δx)]/2Δx
不一定等于：
（1/2）{lim(Δx→0) [f(x0+Δx)-f(x0)]/Δx - lim(Δx→0) f(x0-Δx)-f(x0)/Δx}
即：
limf(x)，limg(x)存在，则：lim[f(x)±g(x)]=limf(x)±limg(x)
反之则不一定了！

追问

所以那个充分性证明？还对的吗？😳

追答

怎么一直絮絮叨叨的？
充分性证明哪里错了？当然是对的！

追问

看样子是我没说明白

那我先问下，是不是证明可导或者不可导，就是看f(h+x0)- f(x0) / h，h趋于0的值是否存在？

追答

晕死，大哥，这是基本定义啊！
导数定义：
lim(x→x0) [f(x)-f(x0)]/(x-x0)存在
或者
lim(Δx→0) [f(x0+Δx)-f(x0)]/Δx存在

追问

嗯，然后我们看着这个题

敢问这个题对不对？

追答

上面不是说过了么？
本题陷阱之一就是：
原极限
=lim(Δx→0) [f(x0+Δx) - f(x0-Δx)]/2Δx

但是，不一定等于：
（1/2）{lim(Δx→0) [f(x0+Δx)-f(x0)]/Δx - lim(Δx→0) f(x0-Δx)-f(x0)/Δx}
因为，极限的四则运算是：
limf(x)，limg(x)存在，则：lim[f(x)±g(x)]=limf(x)±limg(x)
反之则不一定了！
因此，原式不能推导出f(x)在x0可导！

另：你这基础太差了，建议你，好好学学课本