Question

高数曲线积分题

设g′（x）连续，且g(1)=g(0)=0,计算：
I=∫L[2xg(y)-y]dx+[x²g′(y)-y]dy
L为抛物线y=3x²-2x (0≤x≤1)的一段

Answer 1

利用格林公式，因辩缺为格林公式要求一个封闭的区域，所以先补上：
L1: y=1，x从1到0；
L2: x=0，y从1到0；
使得变成一个正定向的区域，然后设在L上的曲线积分为S，在L1和L2上的曲线积分分别为S1和S2，根据格林公式：
S + S1 + S2 = ∫L+L1+L2[2xg(y)-y]dx+[x²g′(y)-y]dy
= 二重积分( [x²g′(y)-y]对x求导 - [2xg(y)-y]对y求导 )dxdy
= 二重积分( 2xg′(y) - [2xg('y)-1] )dxdy
= 二重积分(1) dxdy
= 积分[0,1] 积分[3x²-2x,1] (1) dydx
= 积分[0,1] (1-3x²+2x) dx
= 1
而在L1上，滚侍y=1，dy=0，所以：
S1 = 积分[1,0] (-1) dx = 1
在L2上，携备辩x=0，dx=0，所以：
S2 = 积分[1,0](-y)dy=1/2

综上，S = 1 - S1 -S2 = -1/2.

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Answer 2

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