Question

数学导数题

Answer 1

解：f(X)=e^(mx)+x^2-mx , f'(x)=me^(mx)+2x-m ,f'(0)=0,
f''(x)=m^2e^(mx)+2>0, 函数f(x)的导函数f'(x) 在R上单调递增，
所以当 x>0时，f'(x)>0,函数f(x)单调递增; 当x<0时，f'(x)<0,函数f(x)单调递减；
（II) 由(I)知，函数f(x) 在x=0 处，取得最小值f(0)=1, f(x) 在区间[-1,0)单调递减,
在（0，1】单调递增，函数f(x)(-1<=X<=1)的最大值Max=max{f(-1),f(1)}
对任意 x1,x2属于[-1,1], |f(x1)-f(x2)|<=Max-f(0)=max{f(-1),f(1)}-1
根据题意，有 f(-1)-1<=e-1且 f(1)-1<=e-1
所以 e^(-m)+m<=e-1 .........(1) 且 e^m-m<=e-1..........(2)
设 g(m)=e^(-m)+m, 则 g(-1)=e-1, g'(m)=-e^(-m)+1=(e^m-1)/e^m
当 m>=0 时 ，g'(m)>=0 , g(m)单调递增，m<0时， g(m)单调递减；
又 g(1)=1+1/e<e-1 ,g(2)=2+1/e^2>e-1 ===>g(m)=e-1 在（1，2）内有一解x1, 不等式（1）的解集为：-1<=m<=x1(1<x1<2)
设h(m)= e^m-m, 则 h(1)=e-1,h'(m)=e^m-1, 当 m>=0 时 ，h'(m)>=0 , h(m)单调递增，m<0时， h(m)单调递减；
又 h(-1)=1+1/e<e-1, h(-2)=2+1/e^2>e-1 ===>h(m)=e-1 在（-2，-1） 内有一解x2, 不等式（2）的解集为：x2<=m<=1(-2<x2<-1)
所以 不等式组(1),(2)的解集为 ：-1<=m<=1.
即所求的实数m的取值范围是: [-1,1].