Question

在平面直角坐标系中已知点A(3,0),第一象限内的点P在直线y=2x上 ∠PAO=45° 点M是经过点POA二次函数的顶点

二次函数向上或向下平移使他的顶点落在直线y=2x上的点Q处 求三角形APM与三角形APQ的面积比

Answer 1

∠PAO=45°, 直线PA的倾斜角为180-45=135°，PA的斜率为tan135° = -1

PA的方程：y - 0 = -1(x - 3)

x + y - 3 = 0

与y = 2x联立, P(1, 2)

二次函数过点O和A(3, 0)，则其方程可表达为y = a(x-0)(x-3) = ax(x-3)

二次函数过点P(1, 2), 2 = a*1(1-3), a = -1

y = -x(x-3)

对称轴为x = (0+3)/2 = 3/2

顶点M(3/2, 9/4)

对称轴与y=2x的交点为Q(3/2, 3)

Q与AP的距离q = |3/2 + 3 -3|/√2 = 3√2/4

M与AP的距离m = |3/2 + 9/4 -3|/√2 = 3√2/8

三角形APM与三角形APQ的底均为AP，其面积之比=AP上的高之比= m ：p =  3√2/8 :  3√2/4

= 1:2

追问

Q和M到AP的距离是怎么求的？

追答

点M(m, n)到直线ax + bx c = 0的距离d的公式：
d = |am + bn + c|/√(a² + b²)