Question

设A，B均为n阶方阵，且A+B＝AB，证明A和B的秩相等。

Answer 1

证明：

由 AB=A+B

得 (A-E)(B-E) = AB-A-B+E = E

所以 A-E 可逆，且 E = (B-E)(A-E) = BA-B-A+E

所以 BA = A+B = AB

例如：

(a+b)(a-b)=a^2-ab+ba-b^2

注意矩阵乘法没有交换律。

ab不一定等于ba，则ba-ab不一定等于0

所以(a+b)(a-b)=a^2-b^2不一定成立

扩展资料：

定理：矩阵的乘积的秩Rab<=min{Ra,Rb};

引理：设矩阵A=(aij)sxn的列秩等于A的列数n，则A的列秩，秩都等于n。

当r(A)<=n-2时，最高阶非零子式的阶数<=n-2，任何n-1阶子式均为零，而伴随阵中的各元素就是n-1阶子式再加上个正负号，所以伴随阵为0矩阵。

当r(A)<=n-1时，最高阶非零子式的阶数<=n-1，所以n-1阶子式有可能不为零，所以伴随阵有可能非零（等号成立时伴随阵必为非零）。

参考资料来源：百度百科-矩阵的秩

Answer 2

AB=A+B
∴AB-A-B+E=E
∴(A-E)(B-E)=E
∴A-E可逆。

AB=A+B
∴A=AB-B
∴A=(A-E)B
∵A-E可逆，
∴A的秩=B的秩