Question

计算：(x-1)(x+1)=( ) (x-1)(x²+x+1)=( ) (x-1)(x³+x²+x+1)=( ) 由（1）的计算结果，猜想

(x-1)(x的n次方+x的n-1次方+x的n-2次方+…+x+1)=,并证明你的猜想

Answer 1

(x-1)(x+1)=(x²-1) (x-1)(x²+x+1)=(x³-1) (x-1)(x³+x²+x+1)=(x^4-1) 由（1）的计算结果，猜想

(x-1)(x的n次方+x的n-1次方+x的n-2次方+…+x+1)
=x^(n+1)+x^n+x^(n-1)+……+x²+x-x^n-x^(n-1)-x²-x-1
=x^(n+1)-1

Answer 2

(x - 1)(xⁿ + xⁿ-¹ + ... + 1) = xⁿ+¹ - 1
证明：
1、n = 1时：
(x - 1)(x + 1) = x² - 1，等式成立；
2、设：n = k时等式成立，即 (x - 1)[x^k + x^(k-1) + ... + 1) = x^(k+1) - 1
(x - 1)[x^(k+1) + x^k + ... + 1)
= (x - 1)[x^k + x^(k-1) + ... + 1) + (x - 1)x^(k+1)
= x^(k+1) - 1 + x^(k+2) - x^(k+1)
= x^(k+2) - 1
所以：n = k + 1时等式成立。
综上所述：等式(x - 1)(xⁿ + xⁿ-¹ + ... + 1) = xⁿ+¹ - 1 成立。