Question

已知数列｛an｝的通项公式为an=8n/(4n²-1）²，Sn为其前n项的和

，计算S1、S2、S3的值，根据计算结果，推测出Sn的公式，并用数学归纳法加以证明。
通项公式为an=8n/[(4n²-1）²]

Answer 1

an=8n/[(4n²-1)²]=1/(2n-1)²-1/(2n+1)²，a1=1-1/3²，a2=1/3²-1/5²，a3=1/5²-1/7²，S1=1-1/3²=8/9，S2=1-1/5²=24/25，S3=1-1/7²=48/49；推测Sn=1-1/(2n+1)²，当n=1时，左边=S1=a1=1-1/3²，右边=1-1/3²，成立；当n=2时，左边=S2=a1+a2=1-1/5²，右边=1-1/5²，成立；设当n=k时，上式成立，Sk=1-1/(2k+1)²，因为a(k+1)=1/(2k+2-1)²-1/[2(k+1)+1]²=1/(2k+1)²-1/[2(k+1)+1]²，则S(k+1)=Sk+a(k+1)=1-1/(2k+1)²+1/(2k+1)²-1/[2(k+1)+1]²=1-1/[2(k+1)+1]²，当n=k+1时，上式成立；Sn=1-1/(2n+1)²。

Answer 2

解：S1=a1=8/9,S2=a1+a2=8/9+16/225,S3=a1+a2+a3=8/9+16/225+24/35x35.所以Sn=8/3x3+(2x8)/(3x5)(3x5)+(3x8)/(5x7)(5x7)+........+(nx8)/(2n-1)(2n-1).(2n+1))2n+1)=1/2 【1-1/9+1/9-1/25+1/25-1/49+.....+1/(2n-1)(2n-1)-1/(2n+1)(2n+1)]=1/2 [ 1-1/(2n+1)(2n+1)=2n(n+1)/(2n+1)(2n+1) 证明；当n=1时 显然成立。假设n=k时成立有Sk=2k(k+1)/(2k+1)(2k+1)那么n=k+1时，有S(k+1)=Sk+a(k+1)=2k(k+1)/(2k+1)(2k+1) +4(k+1)/(2k+1)(2k+1)(2k+3)(2k+3)=2(k+1)(k+2)/(2k+3)(2k+3).所以n=k+1时 也成立。 备注：化简通项an=1/2 (1/(2n-1)(2n-1) -1/(2n+1)(2n+1).