Question

初三数学压轴题

已知二次函数y=x²+bx+c的图像与x轴交于A、B两点，与y轴交于P点，顶点为C（1，-2）
（1）作点C关于x轴的对称点D，顺次连接A、C、B、D，若在抛物线上存在点E，使直线PE将四边形ACBD分成面积相等的两个四边形，求点E的坐标
（2）在以上的条件下，抛物线上是否存在一点F，使得△PEF是以P为直角顶点的直角三角形？求出F的坐标以前△PEF的面积
如图

Answer 1

解： （1）抛物线的顶点坐标公式可知： － b =1,a=1,所以得 b=－2; 2a

4

4ac－b2 =－2,a=1,b=－2,求得 c=－1； 4a 所以，此抛物线的解析式为 y=x －2x－1 ， 或者：因为 y=x2+bx+c 的顶点坐标为（1，－2） 2 2 所以 y=(x－1) －2,即 y= x －2x－1.
(2)由于点 A、点 B 是关于对称轴对称的两个点，点 C 是对 P 称轴上的点，所以，AC=BC。 又，点 D 是点 C 关于 x 轴的对称点， C (F) 所以，AD=BD=AC=BC， 因此，四边形 ACBD 是菱形，直线 PE 把四边形 ACBD 分 成两个面积相等的四边形，所以 PE 经过四边形 ACBD 的对称中心即（1，0） ， 所以设PE 所在的直线解析式为：y=kx－1 将(1，0）代入直线 PE 的解析式解得：得 k=1 所以， PE所在直线的解析式为：y=x－1 设 E（x,x－1）,代入 y= x2－2x－1，得 x－1= x2－2x－1, 解得：x1=0,x2=3, 根据题意得，E（3，2）
（3）假设存在这样的点 F，可设 F（x，x2－2x－1） ，过点 F 作 FG⊥y 轴，垂足为点 G， 在 Rt △POM 和 Rt △FGP 中， 因为∠OMP+∠OPM=90°，∠FPG+∠OPM=90°， 所以，∠OMP=∠FPG， 又，∠POM=∠PGF， 所以，△POM ∽△FGP，OM GP 所以， = . OP GF 又，OM=1，OP=1，所以，GP=GF， 即－1－（x2－2x－1）=x, 解得 x1=0,x2=1,根据题意得，F（1，－2） 。 以上各步均可逆，故点 F（1，－2）即为所求。