Question

设函数f(x)=lnx-1/2ax^2-bx.(a<0).若x=1是f(x)的极大值点,求a的取值范围

Answer 1

∵f(x)=lnx-1/2ax2-bx，
∴x＞0，f′(x)=1/x-ax-b，
由f′（x）=0，得b=1-a，
∴f′(x)=1/x-ax+a-1=-(ax+1)(x-1) /x
①若a≥0，由f′（x）=0，得x=1，
当0＜x＜1时，f′（x）＞0，此时f（x）单调递增；
当x＞1时，f′（x）＜0，此时f（x）单调递减，所以x=1是f（x）的极大值点．
②若a＜0，则f′（x）=0，得x=1，或x=-1/a
∵x=1是f（x）的极大值点，
∴-1/a ＞1，解得-1＜a＜0．
综合①②，得a的取值范围是a＞-1．

Answer 2

解：f(x)定义域x>0; f'(x)=1/x-ax-b=(1-ax^2-bx)/x
依题意 f'(1)=0 得1-a-b=0 b=1-a f'(x)=(1-ax^2-(1-a)x)/x
因x>0,可只讨论分子式函数：1-ax^2-(1-a)x=-ax^2-(1-a)x+1。
因f'(x)有极大值，所以=-ax^2-(1-a)x+1=0至少有一个解，则△≥0。
即 （1-a)^2-4*(-a)*1=(a+1)^2≥0 a取任意值都成立了。。
对吗？