Question

求10道解比例应用题！急求！要过程

Answer 1

例1 某单位买甲、乙两种钢笔共100支，已知甲钢笔每支3元，乙钢笔每支2元，且甲、乙两种钢笔所用钱数一样多.求甲、乙两种钢笔各买了多少支。
分析与解 我们前面已谈到，当某种商品单价一定时，所花钱总数与商品数量成正比，而本题中，所花钱总数（对于甲、乙两种钢笔来说）相同，则购物数量与单价成反比.
　　因为甲、乙两种钢笔单价之比为3∶2，而它们所用总钱数相同，则由购物数量与单价成反比可知：甲、乙两种钢笔的数量之比为2∶3，所以甲钢笔有：
　　
　　乙钢笔有 100—40=60支。
例2 解放前夕，中国人民解放军在数量上已占有优势，与国民党军队人数之比为3∶2，以毛泽东为首的中国共产党人又发动强大的政治攻势，瓦解了10万国民党军队的军心，并促其投诚，这样，中国人民解放军与国民党军队在数量上的比值由3∶2增强到2∶1.求中国人民解放军人数。
分析与解 设中国人民解放军人数为3份，国民党军队人数为2份，则有：

　　所以，中国人民解放军总人数30万×3=90万，加上投诚过来的10万，共有100万军队，这就是百万雄师渡长江的基础，这就是中国革命取得最终胜利的基础。
例3 如图1，甲、乙、丙三个齿轮咬合，当甲轮转4圈时，乙轮恰好转3圈；当乙轮转4圈时，两轮恰好转5圈.求这三个齿轮的齿数最少应分别是多少？

分析与解 为书写及叙述简便，我们用甲来表示甲的齿轮齿数，其余类同.
　　由已知：甲∶乙=3∶4（这是因为两个互相咬合的齿轮，齿数与转数成反比例关系），类似地，乙∶丙=5∶4。
　　这两个单比中，乙所占的份额分别是4和5，这两个数的最小公倍数是20，利用比例的基本性质，将这两个比变形为：
　　甲∶乙=15∶20；乙∶丙=20∶16
　　将这两个单比写成连比的形式，就有：
　　甲∶乙∶丙=15∶20∶16
　　由于15， 20，16这3个数互质，且齿数必须为自然数，所以甲、乙、丙三个齿轮的齿数应最少分别为15，20，16。
例4 如图2，甲、乙二人绕一个长方形操场跑步.该操场长160米，宽120米，甲从A，乙从B相向而跑.结果第一次在E处相遇，E距A处60米，相遇后，甲、乙二人继续跑。
　　问甲、乙二人能否在E处再次相遇？若相遇，这是甲、乙的第几次相遇？

分析与解 由图知：BE=100米，这说明乙的速度比甲快，甲乙速度之比为3∶5。
　　假设能够再次在E处相遇，则此时，甲、乙都又跑了整数圈，由于时间相同，路程与速度成正比，所以甲、乙所跑路程（也就是圈数）与速度成正比，即：甲、乙所跑圈数为3∶5.只需甲跑3圈，乙跑5圈，二人恰好在E处再次相遇。
　　因为甲、乙相遇一次，就相当于合起来共跑了一圈，所以甲、乙共跑了（3+5=）8圈.所以从E处出发后，甲、乙两人共相遇了8次，这说明最后在E点相遇是甲、乙的第九次相遇（包括第一次在E点相遇）。
　　行程问题的关键在于抓住路程、速度、时间三者中哪一个是不变的，从而另二者相应成正比或成反比。
一、 生产队饲养的鸡与猪的只数比为26：5，羊与马的只数比为25：9，猪与马的只数比为10：3。求鸡、猪、马和羊的只数比。
解：由题设
鸡：猪＝26：5，羊：马＝25：9，猪：马＝10：3
由比的基本性质可得：
猪：马＝10：3＝30：9
羊：马＝25：9
鸡：猪＝26：5＝156：30
从而　鸡：猪：马：羊＝156：30：9：25
答：鸡、猪、马、羊的只数比为156：30：9：25。
二、 下列各题中的两个量是否成比例？若成比例，请说明成正比例还是成反比例。
（1） 路程一定时，速度与时间
（2） 速度一定时，路程与时间
（3） 播种面积一定时，总产量与单位面积的产量；
（4） 圆的面积与该圆的半径；
（5） 两个相互啮合的大小齿轮，它们的转速与齿数。
解：（1）由于速度与时间的乘积等于路程，所以，当路程一定时，速度与时间成反比例。
（2）由于路程与时间的比值为速度，所以，当速度一定时，路程与时间成正比例。
（3）由于总产量与单位面积的产量的比值为播种面积，所以，当播种面积一定时，总产量与单位面积的产量成正比例。
（4）设圆的半径为R，则圆的面积为πR2，所以圆的面积与半径的积为πR3，随半径的变化而变化，即圆的面积与半径不成反比例；而圆的面积与半径的比值为πR，也随半径的变化而变化，即圆的面积与半径不成正比例。综上，圆的面积与半径不成比例。
（5）由于齿轮的转速与的积等于单位时间内齿轮转过的总齿数，而两个相互咬合的大小齿轮在单位时间内转过的总齿数相等，所以，他们的转速与齿数成反比例。
三、 某小学共有学生697人，已知低年级学生数的 等于中年级学生数的 ，低年级学生数的 等于高年级学生数的 ，求该校低、中、高年级各有多少名学生？
解：设低年级的学生数为“1”，则中年级学生数为 ，高年级的学生数为 ，从而，低、中、高年级的学生数的比为：低：中：高＝1： ： ＝12：15：14，
按比例分配得，低年级学生数： ＝204（人），
中年级学生数： ＝255（人），
高年级学生数： ＝238（人），
答：该校低、中、高年级的学生数分别为204人、255人、238人。
四、 雏鹰小分队为“希望工种”搞了一次募捐活动。她们用募捐所得的钱购买了甲、乙、丙三种商品，这三种商品的单价分别为30元、15元、和10元。已知购得的甲商品与乙商品的数量之比为5：6，乙商品与丙商品的数量之比为4：11，且购买丙商品比购买甲商品多花了210元，求这次募捐所得的钱数。
解：已知：甲商品数：乙商品数＝5：6
　　　　　乙商品数：丙商品数＝4：11
于是，甲商品数：乙商品数：丙商品数＝10：12：33，
即甲、乙、丙商品分别有10份、12份、33份。
由于购买丙商品比购买甲商品多花210元，所以，每份的商品数为210÷（10×33-30×10）＝7（件）。
于是，甲商品数为：7×10＝70（件），
　　　乙商品数为：7×12＝84（件），
　　　丙商品数为：7×33＝231（件）。
由此，募捐所得到的钱数为：
30×70+15×84+10×231＝5670（元）。
答：募捐所得到的钱为5670元。
五、 A、B、C是三个顺次咬合的齿轮。当A转4圈时，B恰好转3圈；当B转4圈时，C恰好转5圈。问这三个齿轮的齿数的最小数分别是多少？
解：由题设知，A转：B转＝4：3，B转：C转＝4：5，
于是，A转：B转：C转＝16：12：15，
从而，A齿：B齿：C齿＝ ＝15：20：16。
由于15，20，16三数互质，且齿轮的齿数必为自然数，所以A、B、C的齿数最小分别为15，20，16齿。
答：这三个齿轮的齿数最小数分别为12，20，16齿。
六、 某高速公路收费站对过往车辆收费标准是：大客车30元，中巴车15元，其他车10元。某日通过该收费站的大客车和中巴车的数量之比为5：6，中巴车与其他车（不含大客车）的数量之比为4：11，收取标准为10元的其他车的通行费比大客车多270元。问：这天通过该收费站的大客车、中巴车及其他车各有多少辆？这天的总收入为多少元？
解：由题设，大客：中巴＝5：6，中巴：其他＝4：11，故大客：中巴：其他＝10：12：33，于是
270÷（10×33-30×10）＝9。
因而大客车有9×10＝90（辆），中巴车有9×12＝108（辆），其他车有9×23＝297（辆）。由此，这天收入有30×90+15×108+10×297＝7290（元）。
答：这天通过该收费站的大客车、中巴车及其他车分别有90辆、108辆、297辆。这天的总收入为7290元。

Answer 2

例1 某单位买甲、乙两种钢笔共100支，已知甲钢笔每支3元，乙钢笔每支2元，且甲、乙两种钢笔所用钱数一样多.求甲、乙两种钢笔各买了多少支。
分析与解 我们前面已谈到，当某种商品单价一定时，所花钱总数与商品数量成正比，而本题中，所花钱总数（对于甲、乙两种钢笔来说）相同，则购物数量与单价成反比.
因为甲、乙两种钢笔单价之比为3∶2，而它们所用总钱数相同，则由购物数量与单价成反比可知：甲、乙两种钢笔的数量之比为2∶3，所以甲钢笔有：
乙钢笔有 100—40=60支。
例2 解放前夕，中国人民解放军在数量上已占有优势，与国民党军队人数之比为3∶2，以毛泽东为首的中国共产党人又发动强大的政治攻势，瓦解了10万国民党军队的军心，并促其投诚，这样，中国人民解放军与国民党军队在数量上的比值由3∶2增强到2∶1.求中国人民解放军人数。
分析与解 设中国人民解放军人数为3份，国民党军队人数为2份，则有：
所以，中国人民解放军总人数30万×3=90万，加上投诚过来的10万，共有100万军队，这就是百万雄师渡长江的基础，这就是中国革命取得最终胜利的基础。
例3 如图1，甲、乙、丙三个齿轮咬合，当甲轮转4圈时，乙轮恰好转3圈；当乙轮转4圈时，两轮恰好转5圈.求这三个齿轮的齿数最少应分别是多少？
分析与解 为书写及叙述简便，我们用甲来表示甲的齿轮齿数，其余类同.
由已知：甲∶乙=3∶4（这是因为两个互相咬合的齿轮，齿数与转数成反比例关系），类似地，乙∶丙=5∶4。
这两个单比中，乙所占的份额分别是4和5，这两个数的最小公倍数是20，利用比例的基本性质，将这两个比变形为：
甲∶乙=15∶20；乙∶丙=20∶16
将这两个单比写成连比的形式，就有：
甲∶乙∶丙=15∶20∶16
由于15， 20，16这3个数互质，且齿数必须为自然数，所以甲、乙、丙三个齿轮的齿数应最少分别为15，20，16。
例4 如图2，甲、乙二人绕一个长方形操场跑步.该操场长160米，宽120米，甲从A，乙从B相向而跑.结果第一次在E处相遇，E距A处60米，相遇后，甲、乙二人继续跑。
问甲、乙二人能否在E处再次相遇？若相遇，这是甲、乙的第几次相遇？
分析与解 由图知：BE=100米，这说明乙的速度比甲快，甲乙速度之比为3∶5。
假设能够再次在E处相遇，则此时，甲、乙都又跑了整数圈，由于时间相同，路程与速度成正比，所以甲、乙所跑路程（也就是圈数）与速度成正比，即：甲、乙所跑圈数为3∶5.只需甲跑3圈，乙跑5圈，二人恰好在E处再次相遇。
因为甲、乙相遇一次，就相当于合起来共跑了一圈，所以甲、乙共跑了（3+5=）8圈.所以从E处出发后，甲、乙两人共相遇了8次，这说明最后在E点相遇是甲、乙的第九次相遇（包括第一次在E点相遇）。
行程问题的关键在于抓住路程、速度、时间三者中哪一个是不变的，从而另二者相应成正比或成反比。
一、 生产队饲养的鸡与猪的只数比为26：5，羊与马的只数比为25：9，猪与马的只数比为10：3。求鸡、猪、马和羊的只数比。
解：由题设
鸡：猪＝26：5，羊：马＝25：9，猪：马＝10：3
由比的基本性质可得：
猪：马＝10：3＝30：9
羊：马＝25：9
鸡：猪＝26：5＝156：30
从而鸡：猪：马：羊＝156：30：9：25
答：鸡、猪、马、羊的只数比为156：30：9：25。
二、 下列各题中的两个量是否成比例？若成比例，请说明成正比例还是成反比例。
（1） 路程一定时，速度与时间
（2） 速度一定时，路程与时间
（3） 播种面积一定时，总产量与单位面积的产量；
（4） 圆的面积与该圆的半径；
（5） 两个相互啮合的大小齿轮，它们的转速与齿数。
解：（1）由于速度与时间的乘积等于路程，所以，当路程一定时，速度与时间成反比例。
（2）由于路程与时间的比值为速度，所以，当速度一定时，路程与时间成正比例。
（3）由于总产量与单位面积的产量的比值为播种面积，所以，当播种面积一定时，总产量与单位面积的产量成正比例。
（4）设圆的半径为R，则圆的面积为πR2，所以圆的面积与半径的积为πR3，随半径的变化而变化，即圆的面积与半径不成反比例；而圆的面积与半径的比值为πR，也随半径的变化而变化，即圆的面积与半径不成正比例。综上，圆的面积与半径不成比例。
（5）由于齿轮的转速与的积等于单位时间内齿轮转过的总齿数，而两个相互咬合的大小齿轮在单位时间内转过的总齿数相等，所以，他们的转速与齿数成反比例。
三、 某小学共有学生697人，已知低年级学生数的 等于中年级学生数的 ，低年级学生数的 等于高年级学生数的 ，求该校低、中、高年级各有多少名学生？
解：设低年级的学生数为“1”，则中年级学生数为 ，高年级的学生数为 ，从而，低、中、高年级的学生数的比为：低：中：高＝1： ： ＝12：15：14，
按比例分配得，低年级学生数： ＝204（人），
中年级学生数： ＝255（人），
高年级学生数： ＝238（人），
答：该校低、中、高年级的学生数分别为204人、255人、238人。
四、 雏鹰小分队为“希望工种”搞了一次募捐活动。她们用募捐所得的钱购买了甲、乙、丙三种商品，这三种商品的单价分别为30元、15元、和10元。已知购得的甲商品与乙商品的数量之比为5：6，乙商品与丙商品的数量之比为4：11，且购买丙商品比购买甲商品多花了210元，求这次募捐所得的钱数。
解：已知：甲商品数：乙商品数＝5：6
乙商品数：丙商品数＝4：11
于是，甲商品数：乙商品数：丙商品数＝10：12：33，
即甲、乙、丙商品分别有10份、12份、33份。
由于购买丙商品比购买甲商品多花210元，所以，每份的商品数为210÷（10×33-30×10）＝7（件）。
于是，甲商品数为：7×10＝70（件），
乙商品数为：7×12＝84（件），
丙商品数为：7×33＝231（件）。
由此，募捐所得到的钱数为：
30×70+15×84+10×231＝5670（元）。
答：募捐所得到的钱为5670元。
五、 A、B、C是三个顺次咬合的齿轮。当A转4圈时，B恰好转3圈；当B转4圈时，C恰好转5圈。问这三个齿轮的齿数的最小数分别是多少？
解：由题设知，A转：B转＝4：3，B转：C转＝4：5，
于是，A转：B转：C转＝16：12：15，
从而，A齿：B齿：C齿＝ ＝15：20：16。
由于15，20，16三数互质，且齿轮的齿数必为自然数，所以A、B、C的齿数最小分别为15，20，16齿。
答：这三个齿轮的齿数最小数分别为12，20，16齿。
六、 某高速公路收费站对过往车辆收费标准是：大客车30元，中巴车15元，其他车10元。某日通过该收费站的大客车和中巴车的数量之比为5：6，中巴车与其他车（不含大客车）的数量之比为4：11，收取标准为10元的其他车的通行费比大客车多270元。问：这天通过该收费站的大客车、中巴车及其他车各有多少辆？这天的总收入为多少元？
解：由题设，大客：中巴＝5：6，中巴：其他＝4：11，故大客：中巴：其他＝10：12：33，于是
270÷（10×33-30×10）＝9。
因而大客车有9×10＝90（辆），中巴车有9×12＝108（辆），其他车有9×23＝297（辆）。由此，这天收入有30×90+15×108+10×297＝7290（元）。
答：这天通过该收费站的大客车、中巴车及其他车分别有90辆、108辆、297辆。这天的总收入为7290元。