Question

如何证明初等函数在其定义域内处处连续

Answer 1

设x0为任意点，只要证明，lim(x-->x0-)f(x)=lim(x-->x0+)f(x)=f(x0) 即可，（左极限=右极限=函数值）。

理论上，证明在定义域的开区间任意一点x0有x→x0limf(x)=f(x0).闭区间还需要证明在端点处单侧连续。

实际上，如果题目没有要求用连续的定义证明，那么，指出这个函数是初等函数，所以连续，因为“一切初等函数在其定义域上是连续的"。

如果是分段函数，还要单独考察在分段点处的连续性。

扩展资料：

函数连续的定义：lim(x->a)f(x)=f(a)是函数连续充要条件。 

在这点函数可导是连续的充分条件，不是必要条件，例如绝对值函数f(x)=|x|在x=0处连续但不可导 。

1、连续性定义：若函数f(x)在x0有定义，且极限与函数值相等，则函数在x0连续。 

2、充分条件：若函数f(x)在x0可导或可微（或者更强的条件），则函数在x0连续。 

3、必要条件：若函数f(x)在x0无定义、或无极限、或极限不等于函数值，则在x0不连续 。

4、观察图像（这个不严谨，只适用直观判断） 。

5、记住一些基本初等函数的性质，大部分初等函数在定义域内都是连续的。

6、连续函数的性质：连续函数的加减乘，复合函数等都是连续的。

参考资料来源：百度百科 ——连续函数

Answer 2

基本初等函数的连续性,看上去很明显,要证明的话,倒还真不知道,不过如果基于已经知道基本初等函数的连续性,要证明初等函数的连续性,证明就会简单点.
由连续函数的四则运算和复合运算定理内容可以证明,
初等函数是由基本初等函数经过有限次的四则运算和复合运算构成的,由上述定理就可以知道,初等函数在其定义域内处处连续.