Question

设F(X)是定义在[-1,1]上的偶函数，F(X)与G(X)的图像关于X=1对称，且当X∈[2,3]时

设F(X)是定义在[-1,1]上的偶函数，F(X)与G(X)的图像关于X=1对称，且当X∈[2,3]时g（x）=2a（x-2）-4（x-2）^3(a为常数）
1.求f(x)解析式
2.是否存在正实数a，使f（x）的图象的最高点在直线y=12上，若存在，求出；若不存在，说明理由

Answer 1

1、当X∈[2,3]时g（x）=2a（x-2）-4（x-2）^3(a为常数）
函数y=g(x)必过点(2,0)
[2,3]关于X=1对称区间为[-1,0]，而F(X)是定义在[-1,1]上的偶函数，因此对于F(X)，[-1,0]对称区间为[0,1]，两次对称后相当于将g(x)向左平移2个单位：
[2,3]关于X=1对称区间为[-1,0]，所以X∈[-1,0]时，F(X)=G(2-X)=2a（(2-X)-2）-4（(2-X)-2）^3=4x^3-2ax；f(x)为偶函数，所以X∈[0,1]时，f(x)=4(-x)^3-2a(-1)=-4x^3+2ax
综上，f(x)=4x^3-2ax,X∈[-1,0];
-4x^3+2ax,,X∈[0,1];
2、由于f(x)的对称性，研究X∈[0,1]即可。X∈[0,1]时，f(x)=-4x^3+2ax≤12且等号可取，a＞0。
x=0时，0＜12，所以最高点不在x=0上，所以研究区间(0,1]即可。
分离变量法,研究区间(0,1]时，有不等式a≤2x^2+6/x恒成立，所以研究函数u(x)=2x^2+6/x在X∈(0,1]上的单调性即可。
设0＜x1＜x2≤1
则u(x1)-u(x2)
=2(x1)^2+6/(x1)-[2(x2)^2+6/(x2)]
=2(x1+x2)(x1-x2)+6(x2-x1)/x1x2
=(x1-x2)[2(x1+x2)-6/x1x2]
=[(x1-x2)/x1x2]*[2(x1+x2)x1x2-6]
因为0＜x1＜x2≤1
所以0＜x1+x2＜2、0＜x1x2＜1
所以0＜2(x1+x2)x1x2＜4
∵[(x1-x2)/x1x2]＜0、[2(x1+x2)x1x2-6]＜0
所以u(x1)-u(x2)＞0，函数u(x)在(0,1]上单调减
所以u(x)在(0,1]上最小值为u(1)=8
而不等式a≤2x^2+6/x=u(x)在(0,1]恒成立
所以a≤8
则a=8时，f（x）的图象的最高点在直线y=12上