Question

高手们三角函数，请帮帮忙

三角形ABC中，a=5 ，b=4，cos（A-B）=31/32.求cosC=？ 太难了

Answer 1

∵a＞b,∴A＞B。
作∠BAD＝B交边BC于点D。
设BD＝x，则AD＝x，DC＝5-x。
在ΔADC中，注意cos∠DAC＝cos(A-B)=31/32，由余弦定理得：
(5-x)^2=x^2+4^2-2x*4*31/32,
即：25-10x＝16-(31/4)x,
解得：x＝4.
∴在ΔADC中，AD=AC=4,CD=1,
∴cosC=(1/2)CD/AC=1/8.

追问

为什么cosC=(1/2)CD/AC

追答

你没画图？？？ACD等腰三角形AD=AC=4 CD=1
COSC=1/2CD/AC=1/2/4=1/8

追问

cosC可以在三角形ACD中算吗？用正弦定理。你说的CD/AC是哪个角对的？怎么就是cosC的两倍？

追答

我服了，这问题你好意思问？？？我都不知怎么回答

追问

谢谢

Answer 2

∵A＋B＋C＝π ∴cos(A＋B)＝cos(π－C)＝﹣cosC
∵cos(A＋B)＋cos(A－B)＝2cosAcosB
∴cos(A－B)－cosC＝2cosAcosB
∴31/32－(a²＋b²－c²)/(2ab)＝2×(c²＋b²－a²)/(2bc)×(a²＋c²－b²)/(2ac)
∵a＝5 b＝4
∴31/32－(25＋16－c²)/40＝2×(c²－9)/(8c)×(9＋c²)/(10c)
∴31/32－(41－c²)/40＝(c²－9)(c²＋9)/(40c²)
∴155/4－41＋c²＝c²－81/c²
∴81/c²＝9/4 ∴c²＝36
∴cosC＝(a²＋b²－c²)/(2ab)＝(41－36)/40＝1/8