Question

用广义逆矩阵方法判断线性方程组 ax=b 是否有解 并求极小范数 最小二乘 解

Answer 1

如下：

线性方程组：A(mxn)X = b ------ (1)

A是m行n列(m>n)的行列式:A'是A的转置矩阵，将(1)变成

（A'A）X = A'b - - - - (2)

(A'A)是nxn阶方阵，它的逆矩阵称为广义逆矩阵。

(A'A)行列式不为零，方程组(2)有唯一解，且与(1)的最小二乘解相对应！此结论的证明也不复杂。

思想：

广义逆的思想可追溯到1903年（E.）I.弗雷德霍姆的工作，他讨论了关于积分算子的一种广义逆（他称之为伪逆）。

1904年，D.希尔伯特在广义格林函数的讨论中，含蓄地提出了微分算子的广义逆。而任意矩阵的广义逆定义最早是由E.H.穆尔在1920年提出的，他以抽象的形式发表在美国数学会会刊上。

Answer 2

1. 线性方程组：A(mxn)X = b ------ (1)

   A是m行n列(m>n)的行列式:A'是A的转置矩阵，将(1)变成

   （A'A）X = A'b - - - - (2)

   (A'A)是nxn阶方阵，它的逆矩阵称为广义逆矩阵。

2. (A'A)行列式不为零，方程组(2)有唯一解，且与(1)的最小二乘解

   相对应！此结论的证明也不复杂。
   

Answer 3

所以算出A的广义逆A+，然后验证上述条件即可。