Question

设关于x函数y=2cos^2x-2acosx-(2a+1)的最小值为f(a)

1/用a表示f(a)
2/f(a)=1/2的a的值。并求此时的a，求y的最大值。

Answer 1

1）y=2cos^2x-2acosx-(2a+1)
=2[(cosx-a/2)^2]-(a^2/2+2a+1)
当-1≤a/2≤1，即-2≤a≤2时，ymin=-(a^2/2+2a+1)
当a/2>1，即a>2时，ymin=y|x=1=2-2a-(2a+1)=-4a+1
当a/2<-1，即a<-2时，ymin=y|x=-1=2+2a-(2a+1)=1
所以f(a)=1 (a<-2)
=-(a^2/2+2a+1) (-2≤a≤2)
=-4a+1 (a>2)
2）f(a)=1/2
当a>2时，f(a)=-4a+1=1/2，a=1/8，不成立，舍去
当-2≤a≤2时，f(a)=-(a^2/2+2a+1)=1/2，(a+1)(a+3)=0，所以a=-1，或a=-3(舍去)
所以a=-1
此时，y=2[(cosx+1/2)^2]+1/2
所以，当cosx=1时，ymax=2*(1+1/2)^2+1/2=5

Answer 2

⑴y=2cos^2x-2acosx-(2a+1)，设cosx=t，则-1≤t≤1,(为网上书写方便，将 t平方 记作tt)
于是y=2tt-2at-(2a+1), -1≤t≤1,该函数是二次函数的一部分
∴当t=a/2，此时∵-1≤t≤1,∴-2≤a≤2，而y有最小值为f(a)=-(aa/2+2a+1)
若a>2,∵-1≤t≤1，∴y的图像是下降的,y的最小值是 y(1)=f(a)=2--2a-(2a+1)=1-4a
若a<-2,∵-1≤t≤1，∴y的图像是上升的,y的最小值是 y(-1)=f(a)=2+2a-(2a+1)=1
⑵若a<-2或,a>2,时,f(a)≠1/2.∴不再求,y的最大值
若-2≤a≤2，对f(a)=-(aa/2+2a+1)=1/2，解得a=-1（不在a范围内的解舍去），
最小点是t=a/2=-1/2，∴y的最大值是y(1)=2-2*(-1)-(-2+1)=5

Answer 3

1）y=2cos^2x-2acosx-(2a+1)
=2[(cosx-a/2)^2]-(a^2/2+2a+1)
当-1≤a/2≤1，即-2≤a≤2时，ymin=-(a^2/2+2a+1)
当a/2>1，即a>2时，ymin=y|x=1=2-2a-(2a+1)=-4a+1
当a/2<-1，即a<-2时，ymin=y|x=-1=2+2a-(2a+1)=1
所以f(a)=1 (a<-2)
=-(a^2/2+2a+1) (-2≤a≤2)
=-4a+1 (a>2)
2）f(a)=1/2
当a>2时，f(a)=-4a+1=1/2，a=1/8，不成立，舍去
当-2≤a≤2时，f(a)=-(a^2/2+2a+1)=1/2，(a+1)(a+3)=0，所以a=-1，或a=-3(舍去)
所以a=-1
此时，y=2[(cosx+1/2)^2]+1/2
所以，当cosx=1时，ymax=2*(1+1/2)^2+1/2=5