Question

已知椭圆:x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1、F2,长轴的一个端点与短

已知椭圆:x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1、F2,长轴的一个端点与短轴两个端点组成等边三角形的三个顶点，直线l经过点F2，倾斜角为45°，与椭圆交于A,B两点。
（1）若|F1F2|=2√2，求椭圆方程
（2）对（1）中椭圆，求三角形ABF1的面积
（3）M是椭圆上任意一点，若存在实数λ，μ，使得向量OM=λ向量OA+μ向量OB,求证λ^2+μ^2=1

Answer 1

解：（1）由已知，可得c= √2 ，a= √3 b，
∵a2=b2+c2，∴a= √3 ，b=1，
∴椭圆方程为x2 /3 +y2=1．
（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），直线l：y=x- √2 ，
代入椭圆方程x2 /3 +y2=1，消去y可得4x2-6 √2 x+3=0，
∴x1+x2=3√2/2 ，x1x2=3/4 ，|x1-x2|= √6/2 ，|y1-y2|=|x1-x2|= √6/2 ，
∴S△=1 /2 ×2 √2 × √6 /2 = √3 ．
（3）由已知椭圆方程为x2+3y2=3b2①，右焦点F的坐标为( √2 b ， 0)，直线AB所在直线方程为y=x- √2 b②，
由①②得：4x2-6 √2 bx+3b2=0，
设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2=3 √2 /2 b，x1x2=3b2 /4 ，
设M（x，y），由 OM =λ OA +μ OB 得，x=λx1+μx2，y=λy1+μy2，
∵点M在椭圆上，∴(λx1+μx2)2+3(λy1+μy2)2=3b2，
整理得：λ2(x 21 +3y 21 )+μ2(x 22 +3y 22 )+2λμ(x1x2+3y1y2)=3b2，③
x1x2+3y1y2=x1x2+3(x1- √2 b)(x2- √2 b)=4x1x2-3 √2 b(x1+x2)+6b2=0④，
又点A，B在椭圆上，故x 21 +3y 21 =3b2⑤，x 22 +3y 22 =3b2⑥，
将④⑤⑥代入③得λ2+μ2=1．

Answer 2

(1)
∴ ^2/3+b^2=1
(2)直线方程：y=k(x- )
联立直线与椭圆：（k^2+1/3）x^2-2 k^2 x+2k^2-1=0
X1+x2=6 k^2/(3k^2+1)
X1*x2=…
AB长度平方=（x1-x2）^2+（y1-y2）^2+(k^2+1)((x1+X2)^2-4x1x2)= …
F1到直线AB距离l=…
面积=AB*l/2=…
(3)这一问计算麻烦，没有耐心继续了，你自己想吧，实在不行，放弃，这个问题没有几个人能在考试的时候作对！