Question

如图,已知∠aob=120°,om平分∠aob等边三角形的一个顶点P放在射线OM上,两边分别与

如图，已知∠AOB＝120°，OM平分∠AOB，将等边三角形的一个顶点P放在射线OM上，两边分别与OA、OB（或其所在直线）交于点C、D．
(1)如图①，当三角形绕点P旋转到PC⊥OA时，证明：PC＝PD．

(2)如图②，当三角形绕点P旋转到PC与OA不垂直时，线段PC和PD相等吗？请说明理由．

(3)如图③，当三角形绕点P旋转到PC与OA所在直线相交
的位置时，线段PC和PD相等吗？直接写出你的结论，不需证明．
....

Answer 1

解：（1）PC和PD相等．
理由：∵OM平分∠AOB，
∴∠POC=∠POD=60°，
∵PC⊥OA，
∴∠CPO=180°-90°-60°=30°，
∵∠CPC′=∠D′PD，
∴∠CPD=60°，
∴∠DPO=30°，
∴∠CPO=∠DPO；
∵PO=PO，
∴根据“ASA”，可以得到△PCO≌△PDO，
∴PC=PD．

追问

第二第三题呢

追答

（1）证明：∵OP平分∠AOB，PC⊥OA于C，
OM平分∠AOB，
∴∠CPO=∠OPD=30°，∠AOP=∠POB=60°，
∴PD⊥OB于D，
∴PC=PD．（角平分线上的点到角的两边的距离相等）

（2）解：PC=PD．
过P点作PM⊥OA于M，PN⊥OB于N．
由（1）得 PM=PN．
∵∠AOB=120°，
∴∠MPN=360°-90°-90°-120°=60°．
∴∠MPC=∠NPD=60°-∠CPN．
∴△PMC≌△PND．（ASA）
∴PC=PD．

（3）解：PC=PD．