Question

已知复数z满足|z|=1，且z≠±1，求证：z/（1+z^2 ）是实数。

Answer 1

由|z|=1，可假设 z=cos(a)+isin(a)
根据复数幂运算，可知 z^2 = cos(2a)+isin(2a)
z/(1+z^2)
= z/[1+cos(2a)+isin(2a)]
= [cos(a)+isin(a)]*[1+cos(2a)-isin(2a)] / [ (1+cos(2a))² + sin(2a)² ]
= { cos(a)+cos(a)*cos(2a)+sin(a)*sin(2a) + [sin(a)+sin(a)cos(2a)-cos(a)sin(2a) ] i } / .....
= { cos(a)+cos(a-2a) + [sin(a) + sin(a-2a)] i } / [ (1+cos(2a))² + sin(2a)² ]
= [ 2cos(a) + 0 i ] / [ (1+cos(2a))² + sin(2a)² ]
= 2cos(a) / [ (1+cos(2a))² + sin(2a)² ]
为一实数，证毕。
希望有帮助，不清楚请追问，有用请采纳 o(∩_∩)o
说明：z/(1+z^2)可以进一步化简为 cos(a) / [1+cos(2a)]

追问

z^2 = cos(2a)+isin(2a)
这是为什么？？？什么复数幂运算？？那是什么公式？

追答

复数_百度百科的“复数三角形式的运算”中有描述。
证明过程如下：
z^2 = [ cos(a) + i sin(a) ] * [ cos(a) + i sin(a) ]
= cos(a)*cos(a) - sin(a)*sin(a) + i * [ cos(a)sin(a) + sin(a)cos(a) ]
= cos(2a) + i * sin(2a)

参考资料： http://baike.baidu.com/view/10078.htm