Question

高数定积分奇偶性的问题

高数定积分奇偶性的问题图中划线的地方怎么得来的啊？
连续偶函数的原函数中只有一个原函数是奇函数，这里为什么得出连续奇函数的？

Answer 1

偶函数的变上限定积分中，只有一个是奇函数，那就是下限为0的变上限定积分是奇函数，因为只有这个变上限定积分，当x=0的时候函数值为0
现在题目中的变上限定积分，下限就是0啊，当然就是奇函数啦。如果这个都不是奇函数的话，那你的意思就是说，偶函数的变上限定积分中，任何一个都不是奇函数啦。

追问

谢了！那后面的一句话：只需证明在［0,＋∞）有界，是不是因为是偶函数，所以不管证明0到正无穷还是负无穷到0都能得到在整个区间上有界？那如果是奇函数呢？就只能分别判断趋于正无穷的极限和趋于负无穷的极限是否存在了吗？

追答

无论是奇函数，还是偶数，证明了[0，+∞）上有界，那么在（-∞，0]上都会有界，那么在（-∞，+∞）上就会有界。
奇函数：f（-x）=-f（x），所以在（-∞，0]上的点的函数值，是对应[0，+∞）的函数值的相反数。在（-∞，0]区域的函数值范围，是[0，+∞）的函数值范围的相反数范围。既然[0，+∞）的函数值是有界的，那么相反数的范围当然也有界。所以在（-∞，0]上有界。
偶函数：f（-x）=f（x），所以在（-∞，0]上的点的函数值，是对应[0，+∞）的函数值，在（-∞，0]区域的函数值范围，是[0，+∞）的函数值范围相同。既然[0，+∞）的函数值是有界的，那么（-∞，0]上当然也就有界。