Question

已知函数f（x）= (2-x)/(x+1) ． （1）用单调性的定义证明：函数f（x）在（-...

已知函数f（x）=
(2-x)/(x+1)
．
（1）用单调性的定义证明：函数f（x）在（-1，+∞）上为减函数；
（2）求出函数f(x)的对称中心
（3）是否存在负数x0，使得f（x0）=3x0成立，若存在求出x0；若不存在，请说明理由．

Answer 1

1、先把f(x)降次，会更简便。
证明：设-1<x1<x2 ,则由f（x）= (2-x)/(x+1) =-1+3/(x+1)
可得：f(x2)-f(x1)=[-1+3/(x2+1)] -[-1+3/(x1+1)] =3(x1-x2)/[(x1+1)(x2+1)]
由于-1<x1<x2，所以x1-x2<0 ,x1+1>0,x2+1>0,
从而f(x2)-f(x1)<0即f(x2)<f(x1)
所以函数f（x）在（-1，+∞）上为减函数
2、由y=1/x的对称中心是（0,0）可知，f（x）=-1+3/(x+1) 的对称中心为（-1，-1）
3、假设存在负数x0，使得f（x0）=-1+3/(x0+1)= 3x0，则有3x0^2 +4x0 -2=0
解得x0=1/3 或x0=-1/2
由x0为负数可知，x0=-1/2 。
从而，存在负数x0=-1/2，使得f（x0）=3x0成立

Answer 2

1.y=(2-x)/(x+1)=(2-x-1+1)/(x+1)=-1+3/(x+1)
y+1=3/(x+1)
对任意的-1<x1<x2 ==>0<x1+1<x2+1==>3/(x1+1)>3/(x2+1)>0
即 y1+1>y2+1
SO y1>y2
函数f（x）在（-1，+∞）上为减函数
2.猜想中心（-1，-1）
证明：设p(x,y)是曲线C:(x+1)(y+1)=3 (*)上任一点，(C:是函数f(x)对应的方程）
P关于（-1，-1）的对称点P'(x',y')由中点公式
｛x+x'=-2
{y+y'=-2
{x'=-2-x
{y'=-2-y
所以P'(-2-x,-2-y) 将P'(-2-x,-2-y)代入方程(x+1)(y+1)=3的左边
并根据（*）得(-1-x)(-1-y)=(x+1)(y+1)=3，所以P'点也在曲线C:上，因此
函数f(x)的图像关于（-1，-1）点对称。
3.联立{y=f(x),y=3x得方程：f(x)=3x, 化简得：3x^2+4x-2=0 (x≠-1）
解方程得：x1=(-2+√10)/3; x2=(-2-√10)/3
因此存在一个负数：x2=(-2-√10)/3 使得(x2)=3x2