Question

数学高手请速到！！！！！！急急急急急急（关于一道选择题的参考解释）请帮忙详细解释一下我的疑问，谢谢

如题：若圆（x-3)²+（y+5)²=r²上有且只有两个点到直线4x-3y-2=0的距离等于1，则半径r的取值范围是（）
A.（4,6） B【4,6） C.（4,6】 D.【4,6】

PS：该题答案为A项，参考解释为：因为圆心（3，-5）到直线4x-3y-2=0的距离为5，所以当半径r=4时，圆上有1个点到直线4x-3y-2=0的距离等于1，当半径=6时，圆上有3个点到直线4x-3y-2=0的距离等于1，所以圆上有且只有两个点到直线4x-3y-2=0的距离等于1，4＜r＜6.

我的疑问是：参考解释中的“当半径=6时，圆上有3个点到直线4x-3y-2=0的距离等于1，”这里我不理解，画图时画不出来，还有就是参考解释里说的“当半径r=4时，圆上有1个点到直线4x-3y-2=0的距离等于1，当半径=6时，圆上有3个点到直线4x-3y-2=0的距离等于1”，那不是总共有4个点到直线4x-3y-2=0的距离等于1了？（不是与题目的条件矛盾吗？）
我的数学基础比较薄弱，麻烦数学高手详细解释一下我所提出的疑问，跪谢啊！！！！！！

Answer 1

楼主理解有偏差，首先满足要求的点数与r有关，即r确定之后，圆确定，即圆上到直线的点距离等于1的点数确定。不存在半径=6且又=4的情况，所以总共有4个点到直线4x-3y-2=0的距离等于1不存在。

首先圆心（3，-5）到直线4x-3y-2=0的距离为5，当半径=6时，直线与圆相交，此时做两条距离到直线4x-3y-2=0的距离等于1的平行线，那么如图所示，左边的直线与圆相切，右边的直线与圆相交，故有3个点

同理，当半径=4时，画图，右边的直线与圆相切，故有1个点

极限位置不能取，故r则半径r的取值范围是为（4,6）

Answer 2

当半径=6时，圆上有3个点（ B C D）到直线4x-3y-2=0的距离等于1：
圆心到直线的距离为5，过圆心做一条直线 m 垂直于直线4x-3y-2=0，交点为：A（-1，-2）此直线为3x+4y+11=0
直线3x+4y+11=0与圆交与点D，E，点D 到点A的距离为1，D到A得距离为11
另外两点（B C）构成的直线 与 直线4x-3y-2=0平行，并与直线 m 3x+4y+11=0垂直并交与点F ，且F到A的距离为1 ，可算出该直线，并算出这两点。

“当半径r=4时，圆上有1个点到直线4x-3y-2=0的距离等于1，当半径=6时，圆上有3个点到直线4x-3y-2=0的距离等于1”，
因为当半径r=4时，圆上有1个点到直线4x-3y-2=0的距离等于1，，当半径=6时，圆上有3个点到直线4x-3y-2=0的距离等于1， 所以半径r的取值在 4 与6 之间时（不取4和6）， 就只有两个点

Answer 3

当半径r=4时，直线和圆相离，此时圆上的点到直线的最小距离就是1（用圆心到直线的距离减去半径。可以结合画图看下），而且只有一个点，其余的点到直线的距离都大于1。
半径r小于4时，就不存在点到直线的距离等于1
当半径r=6时，直线和圆相交，直线把圆分成两部分，劣弧那部分，离直线的最大距离是1（此时只有一个点）。
而另一部分弧离直线的距离最大距离为11.此时就存在两个点到直线的距离为1.
2+1就有三个点。
当r大于6时，圆上存在4个点到直线的距离等于1.
所以当半径在（4，6）时，直线就有且只有两个点和圆的距离为1.
画下图吧

Answer 4

先求出圆心到直线的距离。当圆到直线的最近距离是1的时候，那么圆到直线距离是1的点就只有一个。也就是经过圆心到直线的距离是r+1是，圆到直线的距离是1的点只有一个。当圆到直线的距离小于1的时候，就会出现两个点到直线的距离是1，圆继续移动与直线相交使圆到直线的最短距离是1是，只是直线的令一侧会有两个点到直线的距离也是1，这样就出现有3个点到直线的距离是1,。因此，到直线距离是1，且只有两个点的时候，只能是圆心到直线的距离是r+1到圆心到r-1之间

Answer 5

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