Question

在三角形ABC中，AD平分角BAC交BC于D

（1）如图1 求证 AB／AC＝BD／DC　　（2）如图2 若M为BC中点 CE垂直AD于F，交AM于G，试判断DG与AC的位置关系并说明理由。

Answer 1

（1）作CE∥AB交AD的延长线于E，则∠AEC=∠EAB=∠EAC，故EC=AC。
由△ABD∽△ECD得：AB/EC=BD/BC
将EC=AC代入上式得：AB／AC＝BD／DC　。
（2）在△AEC中，AF为垂直平分线，故AE=AC。
因M为BC的中点，故BD=BM+MD=MC+MD=(MD+DC)+MD=DC+2MD.
将（1）已证的 AB／AC＝BD／DC两边同减去1：AB／AC -1＝BD／DC -1
→　(AB-AC)/AC=(BD-DC)/DC,→(AB-AE)/AE=[(DC+2MD)-DC]/DC,→BE/AE=2MD/DC。
延长GM至H使MH=GM、并连接BH，则△GCM≌△HBM，得EC∥BH。
由EG∥BH得：BE/AE=HG/AG,→BE/AE=2MG/AG。
已证BE/AE=2MD/DC，则2MG/AG=2MD/DC，→MG/AG=MD/DC
得：GD∥AC 。

Answer 2

第一问是角平分线性质定理，方法很多（延长AD过B做BE平行AD交AD延长线于E即可）我还可以告诉你简单方法
过D做DE,DF垂直AB,AC则DE=DF
SABD/ACD=BD/DC=AB*DE/AC*DF=AB/AC
至于第二问条件没写好