Question

设等比数列{an}的前n项和为Sn,且a1=2,公比q=1/2

(1)试用Sn表示Sn+1 （Sn+1=0.5Sn+2）
（2）是否存在正整数k和c，使得Sk+1-c/Sk-c>2成立？
第二问怎么做？
^-^

Answer 1

把k和c带入第一个式子中，再结合求和公式，得出
(1)当Sk>c，c+1/2^(k-1)>4
分别检验：
c=1，k不存在
c=2，k<2，解得k=1，but，Sk>c不成立
c=3，k不存在
(2)当Sk<c，c+1/2^(k-1)<4
分别检验：
c=1，k不存在
c=2，k不存在
c=3，k不存在
综上，不存在正整数k和c，使得Sk+1-c/Sk-c>2成立
望采纳，祝你学习愉快~

追问

c+1/2^(k-1)>4怎么得出来的？
Sk=2+1+1/2+…+1/2^k-2=4(1-1/2^k)……①
Sk<2(c+2)/3……②
由①②得2^k<6/4-c

追答

啊？不是吧？可能我化错了，方法大概就那样。
真的不好意思。。。。

Answer 2

解：有等比数列q=1/2<1 ，a1=2 得 2≤Sn≤4
根据（1）得 S（n+1)=S(n)/2 +2
得 [S(k+1)-c]/[S(k)-c]>2 即化为 (4-c)/[S(n)-c]>3
当S（n)>c时 解得 (4+2c)/3>S(n)>c 由（4+2c)/3>c得 c<4 ，而4≥Sn≥2.c为整数 所以，讨论c=3,2,1，皆不成立
当S(n)<c时 得S(n)>(2c+4)/3, 所以 c>(2c+4)/3 得 c>4 c为正整数 4≥S(n)≥2,
当c=5时 （2c+4）/3=4+1/3>4
所以所求c值不存在