Question

线性代数题目，向量空间方面的

设r是向量空间的维数，t是该向量空间中的向量的维数，则有( )
A. r≤t B. r≥t C. r＝t D. r与t无确切关系
帮我选出答案并简单证明一下好吗，不会啊

Answer 1

是A 这个我们老师讲过了。
向量空间的维数是不会超过向量维数的
向量空间的维数是其极大无关组中向量的个数 也就是极大无关组的秩 设为r
向量维数是是向量本身的维数 设为t
如果r>t 那么这r个向量就一定相关了 （n+1个n维向量一定相关）就不是极大无关组了 矛盾

Answer 2

B
因为向量空间的维数就是向量的极大线性无关组的向量个数，所以t<=r
另一方面，极大线性无关组的任何一组向量都是线性无关的，所以t<r是可能的
因为n维空间和Rn同构，你既要考虑Rn即可

Answer 3

我猜测是选A.
首先我没有听过"向量的维数"(dimension of a vector ) 这种说法,我猜测你是指向量的长度(length),也就是说,
x = ( x_1 , ... ,x_n )
中的那个正整数 n .
从而这个问题可以转述为: 给定 域 K, 如果 W 是 向量空间 K^n 的子空间, 问 W 的维数与 n 的关系.
显然如果在 K^n 上定义自然的 K-向量空间结构的话, 子空间的维数 dim(W) 小于等于 整个空间的维数 n .

追问

恭喜，你猜错了

追答

你先澄清一下"向量的维数"这个概念,另外选项C的反例不是已经有了么.

呵呵,这真是有意思,下面的朋友显然已经把"向量的维数" 定义为 n-tuple (x_1 , .... , x_n ) 中非零元的个数了.

另外,我犹豫的原因之一就是不明白提问的真意. 首先"向量(vector)" 不一定是 n元组 , 可以是函数,多项式 等等. 不知道提问本身是否仅限于 域 K 的直和 K^n , 而不是 一般的 向量空间.

Answer 4

B. 举个例子你就知道了 直角坐标系是三维 对吧 也就是r=3
而t是它里面的向量 有零向量 t=0，（1，1,0）这个向量t=2
（1,1,1）t=3 所以 明白了么

Answer 5

D
－－－
例：A＝{(a.a,a)|a是实数}是1维空间，A＝{(a.a,b)|a,b是实数}是2维空间，A＝{(a.b,c)|a,b,c是实数}是3维空间，但向量都是3维的。

追问

我也是这么想的，但是答案是C啊

追答

嗯，这个题目应该选A，r≤t是恒成立的，说两者没有确切关系倒是不够准确，r不可能大于t