Question

求函数f(x)=lg(9-x^2)的定义域,值域并指出其单调递增区间

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Answer 1

求函数f(x)=lg(9-x²)的定义域,值域并指出其单调递增区间
解(一)：由9-x²=-(x²-9)=-(x+3)(x-3)>0，得(x+3)(x-3)<0，故定义域为-3<x<3.
f′(x)=-2x/[(9-x²)ln10]=2x/[(x²-9)ln10]=2x/[(x+3)(x-3)ln10]
当-3<x≦0时f′(x)≧0，故f(x)在区间（-3，0]内单调增；当0≦x<3时f′(x)≦0，即f(x)在区间[0，3)
内单调减。
解(二)：设y=lgu，u=-x²+9；y是关于u的增函数；u是关于x的二次函数，其图像是一条开口朝下的抛物线，顶点(0，9)；当-3<x≦0时u单调增;当0≦x<3时u单调减；按“同增异减”原理，复合
函数f(x)=lg(9-x²)的单增区间应该是-3<x≦0.

Answer 2

9-x^2>0,得x属于(-3,3),定义域（-3,3），(9-x^2)属于（0,9],f(x)值域为负无穷到lg9.f(x)=lg(x)为增函数，由同增异减得，当x属于（-3,0]时，9-x^2增，整个函数增，单调增区间为（-3,0]

Answer 3

解：由9-x^2>0,解得：-3<x<3,所以函数f(x)=lg(9-x^2)的定义域是（-3，3)。由于当：-3<x<3时，0<9-x^2=<9,而y=lgx是递增的，所以lg(9-x^2)=<lg9,即函数f(x)=lg(9-x^2)的值域是（负无穷大，lg9】。
因为u=9-x^2在（-3,0】上递增，而y=lgu是递增的，所以由复合函数的同增异减性知：函数f(x)=lg(9-x^2)的单调递增区间是（-3,0】。