Question

函数f(x)=3x^3+3ax-1,g(x)=f(x)'-ax-5,其中f(x)'是f(x)的导函数

已知函数f(x)=x^3+3ax-1的导函数为f'(x),g(x)=f'(x)-ax-5
1若对满足-1≤a≤1的一切的值，都有g(x)<0，求实数x的取值范围
2设a=-m^2,当实数m在什么范围内变化，函数f(x)的图像与直线y=3只有一个公共点
（典例四）

Answer 1

f'(x)=3x^2+3a、g(x)=3x^2+3a-ax-5=3x^2-ax+3a-5。
1,二次函数g(x)=3x^2-ax+3a-5开口向上，若在区间[-1.1]上恒有g(x)<0，则
g(-1)=3+a+3a-5<0且g(1)=3-a+3a-5<0。
解得：a<1/2。
2,f(x)=x^3-3m^2x-1、f'(x)=3x^2-3m^2=3(x+m)(x-m)
若m<0，则f(x)的极大值是f(m)=-2m^3-1、极小值是f(-m)=2m^3-1。
若函数f(x)的图像与直线y=3只有一个公共点，则
f(m)=-2m^3-1<3或f(-m)=2m^3-1>3，解得：-2^(1/3)<m<0。
若m=0，则f(x)=x^3-1，符合题意。
若m>0，则f(x)的极大值是f(-m)=2m^3-1、极小值是f(m)=-2m^3-1。
若函数f(x)的图像与直线y=3只有一个公共点，则
f(-m)=2m^3-1<3或f(m)=-2m^3-1>3，解得：0<m<2^(1/3)。
总之，当实数m在[-2^(1/3),2^(1/3)]范围内变化，函数f(x)的图像与直线y=3只有一个公共点。