Question

高二数学导数题一道。求解。谢谢各位啦~

已知函数f(x)=(x^2+ax+2)e^x,(x,a属于R)
（1）当a=0时，求函数f(x)的图像在点A（1，f（1）） 处的切线方程。
（2）若f(x)在R上单调，求a取值范围。
（3）当a=-5/2时，求函数f（x）的极小值。

Answer 1

解：
（1） a=0，f(x) = (x²+2)*e^x
f'(x) = 2x*e^x+(x²+2)*e^x = (x²+2x+2)*e^x
因此：
f(1) = 3e；f'(1) = 5e，即切线斜率为 5e
切线方程为;
y - 3e = 5e(x-1) ==> y =5e *x -2e
（2） f'(x) = (2x+a)*e^x+(x²+ax+2)*e^x = [x²+(a+2)x+(a+2)]*e^x
f(x) 在R上单调，则恒有 f'(x)≥0 或者 恒有f'(x)≤0
∵ e^x >0，且 x²+(a+2)x+(a+2) >0 必有解
∴ 不能满足任意x，f'(x)≤0
若 x²+(a+2)x+(a+2) < 0 无解，则可满足任意x，f'(x))≥0
只要：Δ = (a+2)² - 4(a+2)≤0
解得：-2 ≤ a ≤ 2
a的取值范围是 [-2, 2]
（3） 当a=-5/2时：
f'(x) = [x²+(a+2)x+(a+2)]*e^x
= (x² -x/2 - 1/2)*e^x = 1/2*(2x+1)(x-1)e^x
令f'(x) =0, 解得 x1=-1/2，x2=1；
当 x<-1/2 时， f’(x) >0
-1/2 <x<1时，f‘(x) <0
x>1 时，f'(x)>0
因此 x =1为极小值点；
极小值：f(1) = (1+a+2) e = e/2

Answer 2

f（1）＝3e f＇（1）＝5e 所以方程 y－3e＝5e（x－1）第二问 f＇（x）＝x^2＋（a＋2）＋a＋2 因为开口向上所以保证Δ＜0 －2＜a＜2三问 零点为1 和－1/2 所以最小值x＝－1/2 y＝5√e/2