Question

已知函数f(x)=1/3x^3+ax^2+bx,a,b属于R，

已知函数f(x)=1/3x^3+ax^2+bx,a,b属于R，（1）曲线C：y=f(x)经过点P(1,2),且曲线C在点P处的切线平行于直线y=2x+1,求a,b的值（2）已知f(x)在区间（1,2）
内存在两个极值点，求证：0<a+b<2

Answer 1

1由题目条件可得f(1)=2,f(x)的导函数在x=1时的值为2,由此得1/3+a+b=2,1+2a+b=2,解得a=-2/3,b=7/3
2由题意得f(x)的导函数在区间（1，2）内由两个取值为0，由此得方程x^2+2ax+b=0在（1，2）内有两根，这等价于1<-2a/(2*1)<2,方程判别式大于0，且f(1)>0,f(2)>0,解以上不等是得-2<a<-1,b<a^2,b>-2a-1,所以0<-2a-1+a<a+b<a^2+a<2

追问

这等价于1<-2a/(2*1)<2,方程判别式大于0,是什么啊？

追答

方程x^2+2ax+b=0有根肯定会得到判别式大于0,而方程的两个跟都在区间(1,2)内,所以二次函数y=x^2+2ax+b的对称轴必在区间(1,2)内,因为方程的两个跟肯定在对称轴两侧,后面的f(1)>0,f(2)>0结合二次函数图像也可以得到，如果理解不了的话，也可以用求根公式把两跟解出来，再解小根大于1，大根小于2的不等式

Answer 2

1。f'(x)=x^2-2ax+b
f
'(0)=f
'(2)=1得b=1，a=1
f（x）=1/3x^3-x^2+x
2。f'(x)=x^2-2ax+b
即f‘（x）在（0.，1）上最小值>0
讨论a<=0,0
0,a>-2或-1
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Answer 3

,1、f'(x)=x²－2ax＋b，则f'(0)=b=1且f'(2)=4－4a＋b=1，解得a=b=1。2、f'(x)=x²－ax＋(a＋2)【
二次函数
！！】在(0，1)上大于等于0，则：①
对称轴
≤0且f'(0)≥0或②对称轴≥1且f'(1)≥0或③△≤0，解之。