Question

求极限lim(x→1)[(1-x)tan(πx/2)]

lim(x→1)[(1-x)tan(πx/2)]
求极限，求大神给出解答过程

Answer 1

原式=lim(1-x)sin(πx/2)/cos(πx/2)

是0/0型,用洛必达法则

=lim[-sin(πx/2)+(1-x)πcos(πx/2)/2]/[-πsin(πx/2)/2]

=1/(π/2)

=2/π

极限思想的思维功能

极限思想在现代数学乃至物理学等学科中，有着广泛的应用，这是由它本身固有的思维功能所决定的。极限思想揭示了变量与常量、无限与有限的对立统一关系，是唯物辩证法的对立统一规律在数学领域中的应用。借助极限思想，人们可以从有限认识无限。

“无限”与’有限‘概念本质不同，但是二者又有联系，“无限”是大脑抽象思维的概念，存在于大脑里。“有限”是客观实际存在的千变万化的事物的“量”的映射，符合客观实际规律的“无限”属于整体，按公理，整体大于局部思维。

Answer 2

令1-x=t，则x=1-t
x→1，则t→0
lim (1-x)tan(πx/2)
x→1
=lim t·tan[π(1-t)/2]
t→0
=lim t·tan(π/2 -πt/2)
t→0
=lim (2/π)·(πt/2)·/tan(πt/2)
t→0
=2/π

追问

lim t·tan(π/2 -πt/2)
t→0
=lim (2/π)·(πt/2)·/tan(πt/2)
t→0
这步没看懂，再详细点，多谢

追答

抱歉，没有跳步骤。
实在不知道怎么再拆分步骤了。

Answer 3

tan(πx/2)＝cot(π/2－πx/2)＝1/tan(π/2－πx/2)等价于1/(π/2－πx/2)
∴原式＝lim(x→1)(1－x)/(π/2－πx/2)＝2/π