Question

如图1，已知正方形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E是AC上一点，连接EB，过点A作AM垂直于BE，垂足为M

1。 说明OE=OF 2。如图2若点E作AC的延长线上，AM⊥BE于点M交DB的延长线于点F，其他条件不变，则结论OE=OF还成立吗？ 请给出证明

Answer 1

⑴ ∠BAF＝90º-∠ABE＝∠EBC AB＝∠BC ∠ABF＝∠BCE﹙＝45º﹚
∴⊿ABF≌⊿BCE ﹙ASA﹚ ∴BF＝CE OF＝OB-BF＝OC-CE＝OE
⑵CB延长交AF于N ∠BAF＝90º-∠ANB＝∠MBN＝∠CBE AB＝BC
∠ABF＝∠BCE﹙＝135º﹚ ∴⊿ABF≌⊿BCE ﹙ASA﹚ ∴BF＝CE
OF＝OB+BF＝OC+CE＝OE

Answer 2

1、因为OB=OA ∠OEB+∠OFM=∠OFA+OFM=∠OFA+∠OAF=180度
所以∠OEB=∠OFA
又因为∠AOF=∠BOE=90度
所以根据角边角定理
推出三角形AOF≌三角形BOE
所以推出OE=OF
2、因为∠CBE+∠ABM=∠ABM+BAF=90度
所以∠CBE=BAF
又因为∠BCE=∠ABF=135度
BC=AB
所以三角形BCE≌三角形ABF
所以CE=BF
又因为OC=OB
所以OC+CE=OB+BF
即OE=OF
得证

Answer 3

∵ AM⊥EB
∠AMB=90°,
正方形ABCD中对角线AC、BD相交于O,∠AOB=90°
∠AFO= ∠BFM
∴△BFM∽△ FAO
∴ ∠FAO= ∠FBM
∵AO=BO ∠AOB= ∠BOE
∴△AFO≌△ BOE
∴ OE=OF
2、因为∠CBE+∠ABM=∠ABM+BAF=90度
所以∠CBE=BAF
又因为∠BCE=∠ABF=135度
BC=AB
所以△BCE≌△ABF
所以CE=BF
又因为OC=OB
所以OC+CE=OB+BF
即OE=OF

Answer 4

⑴ ∠BAF＝90º-∠ABE＝∠EBC AB＝∠BC ∠ABF＝∠BCE﹙＝45º﹚
∴⊿ABF≌⊿BCE ﹙ASA﹚ ∴BF＝CE OF＝OB-BF＝OC-CE＝OE
⑵CB延长交AF于N ∠BAF＝90º-∠ANB＝∠MBN＝∠CBE AB＝BC
∠ABF＝∠BCE﹙＝135º﹚ ∴⊿ABF≌⊿BCE ﹙ASA﹚ ∴BF＝CE
OF＝OB+BF＝OC+CE＝OE

Answer 5

∵ AM⊥EB
∠AMB=90°,
正方形ABCD中对角线AC、BD相交于O,∠AOB=90°
∠AFO= ∠BFM
∴△BFM∽△ FAO
∴ ∠FAO= ∠FBM
∵AO=BO ∠AOB= ∠BOE
∴△AFO≌△ BOE
∴ OE=OF