Question

已知函数f(x)=x^2-|x|若f(-m^2-1/2)>f(m)则实数m的取值范围是

Answer 1

显然f(x) 为偶函数，f(-m^2-1/2)=f(m^2+1/2)
只需讨论x>=0的情况，此时f(x)=x^2-x=x(x-1)在【0，1/2]上单调递减，在（1/2，+无穷）上单调递增。
所以当m>=0时
由于m^2+1/2.>=1/2所以要f(m^2+1/2)>f(m)分成两类：
（1）0≤m≤1时，此时需1/2-m<m^2+1/2-1/2即可，此时m∈（（-1+√3）/2,1]
(2)m>1时，此时需(m^2+1/2)>m即可，此时m>1
结合偶函数的对称性可知所求实数m的取值范围是（-∞，-（-1+√3）/2）∪(∈（（-1+√3）/2,+∞)

Answer 2

f(x) 为偶函数，有f(-m^2-1/2)=f(m^2+1/2)
x>=0时f’(x)=2x-1，在（0，1/2）时f’(x）>0,（1/2，正无穷）时f’(x）<0.
则f(x)在（0，1/2）上单调递减，在（1/2，正无穷）上单调递增。
做出f(x) 的图像，由图分析
因为m^2+1/2>=1/2
（1）当m>=0时
0≤m≤1/2时，由于f(m)=f（1-m）
即1-m<（m^2+1/2）即可，此时m∈（（-1+√3）/2,1/2]
(2)m>1/2时，则要(m^2+1/2)>m，得m>1/2
由偶函数的对称性可知
m的取值范围是（-∞，-（-1+√3）/2）∪(∈（（-1+√3）/2,+∞)