Question

用初等变换法求逆矩阵

第一题：4 1 2
3 2 1
5 -3 2
第二题：1 0 1 -1
2 0 1 0
3 1 2 0
-3 1 0 4
第三题：1 1 1 1
1 1 -1 -1
1 -1 1 -1
1 -1 -1 1
麻烦写一下过程，还有这类题有什么技巧吗，谢谢

Answer 1

看看下面的解法, 琢磨一下与你的做法有什么不同,
不同之处或许就是所谓的"技巧"

(1)解: (A,E) =
4 1 2 1 0 0
3 2 1 0 1 0
5 -3 2 0 0 1

r3-r1,r1-2r2
-2 -3 0 1 -2 0
3 2 1 0 1 0
1 -4 0 -1 0 1

r1+2r3,r2-3r3
0 -11 0 -1 -2 2
0 14 1 3 1 -3
1 -4 0 -1 0 1

r1*(-1/11),r2-14r1,r3+4r1
0 1 0 1/11 2/11 -2/11
0 0 1 19/11 -17/11 -5/11
1 0 0 -7/11 8/11 3/11

交换行
1 0 0 -7/11 8/11 3/11
0 1 0 1/11 2/11 -2/11
0 0 1 19/11 -17/11 -5/11

所以 A^-1 =
-7/11 8/11 3/11
1/11 2/11 -2/11
19/11 -17/11 -5/11

(2)解: (A,E) =
1 0 1 -1 1 0 0 0
2 0 1 0 0 1 0 0
3 1 2 0 0 0 1 0
-3 1 0 4 0 0 0 1

r4+r3,r3-r1-r2,r2-2r1
1 0 1 -1 1 0 0 0
0 0 -1 2 -2 1 0 0
0 1 0 1 -1 -1 1 0
0 2 2 4 0 0 1 1

r4-2r3
1 0 1 -1 1 0 0 0
0 0 -1 2 -2 1 0 0
0 1 0 1 -1 -1 1 0
0 0 2 2 2 2 -1 1

r1+r2,r4+2r2
1 0 0 1 -1 1 0 0
0 0 -1 2 -2 1 0 0
0 1 0 1 -1 -1 1 0
0 0 0 6 -2 4 -1 1

r2*(-1),r4*(1/6)
1 0 0 1 -1 1 0 0
0 0 1 -2 2 -1 0 0
0 1 0 1 -1 -1 1 0
0 0 0 1 -2/6 4/6 -1/6 1/6

r1-r4,r2+2r4,r3-r4
1 0 0 0 -2/3 1/3 1/6 -1/6
0 0 1 0 4/3 1/3 -1/3 1/3
0 1 0 0 -2/3 -5/5 7/8 -1/6
0 0 0 1 -1/3 2/3 -1/6 1/6

交换行
1 0 0 0 -2/3 1/3 1/6 -1/6
0 1 0 0 -2/3 -5/5 7/8 -1/6
0 0 1 0 4/3 1/3 -1/3 1/3
0 0 0 1 -1/3 2/3 -1/6 1/6

A^-1 =
-2/3 1/3 1/6 -1/6
-2/3 -5/5 7/8 -1/6
4/3 1/3 -1/3 1/3
-1/3 2/3 -1/6 1/6

(3)解: (A,E) =
1 1 1 1 1 0 0 0
1 1 -1 -1 0 1 0 0
1 -1 1 -1 0 0 1 0
1 -1 -1 1 0 0 0 1

r4-r3,r3-r1,r2-r1
1 1 1 1 1 0 0 0
0 0 -2 -2 -1 1 0 0
0 -2 0 -2 -1 0 1 0
0 0 -2 2 0 0 -1 1

r4-r2
1 1 1 1 1 0 0 0
0 0 -2 -2 -1 1 0 0
0 -2 0 -2 -1 0 1 0
0 0 0 4 1 -1 -1 1

r2*(-1/2),r3*(-1/2),r4*(1/4)
1 1 1 1 1 0 0 0
0 0 1 1 1/2 -1/2 0 0
0 1 0 1 1/2 0 -1/2 0
0 0 0 1 1/4 -1/4 -1/4 1/4

ri-r4,i=2,3,4
1 1 1 0 3/4 1/4 1/4 -1/4
0 0 1 0 1/4 -1/4 1/4 -1/4
0 1 0 0 1/4 1/4 -1/4 -1/4
0 0 0 1 1/4 -1/4 -1/4 1/4

r1-r2-r3
1 0 0 0 1/4 1/4 1/4 1/4
0 0 1 0 1/4 -1/4 1/4 -1/4
0 1 0 0 1/4 1/4 -1/4 -1/4
0 0 0 1 1/4 -1/4 -1/4 1/4

r2<->r3
1 0 0 0 1/4 1/4 1/4 1/4
0 1 0 0 1/4 1/4 -1/4 -1/4
0 0 1 0 1/4 -1/4 1/4 -1/4
0 0 0 1 1/4 -1/4 -1/4 1/4

所以 A^-1 =
1/4 1/4 1/4 1/4
1/4 1/4 -1/4 -1/4
1/4 -1/4 1/4 -1/4
1/4 -1/4 -1/4 1/4

Answer 2

相似矩阵具有相同的特征值，

那么其对角线元素的加和一定也是相等的，
所以在这里得到

2+0+x=2+1-1
于是解得
x=0
在数学中，矩阵（Matrix）是一个按照长方阵列排列的复数或实数集合[1] ，最早来自于方程组的系数及常数所构成的方阵。这一概念由19世纪英国数学家凯利首先提出。
矩阵是高等代数学中的常见工具，也常见于统计分析等应用数学学科中。在物理学中，矩阵于电路学、力学、光学和量子物理中都有应用；计算机科学中，三维动画制作也需要用到矩阵。 矩阵的运算是数值分析领域的重要问题。将矩阵分解为简单矩阵的组合可以在理论和实际应用上简化矩阵的运算。对一些应用广泛而形式特殊的矩阵，例如稀疏矩阵和准对角矩阵，有特定的快速运算算法。关于矩阵相关理论的发展和应用，请参考矩阵理论。在天体物理、量子力学等领域，也会出现无穷维的矩阵，是矩阵的一种推广。收起

Answer 3