Question

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如图①，在梯形ABCD中，AD//BC，AB=DC.
(1)如果点P、E和F分别是BC,AC和BD的中点，证明AB=PE+PF;
(2)如果点P事线段BC上任意一点(中点除外)，PE//AB,PF//DC，如图②所示，那么AB=PE+PF这个结论还成立吗？请说明理由；
(3)如果点P在线段BC的延长线上，PE//AB,PF//CD，其他条件不变，那么结论AB=PE+PF是否成立？

Answer 1

（1）在三角形BCD中，F P 分别是BD BC 的中点，所以FP=CD/2。同理，pe是ab的二分之一。因为ab又等于cd，所以 ab=cd/2 +ab/2 即 ab=pe+pf
（2）三角形abc中 pe//ab 由相似三角形，pe/ab=cp/bc。同理 pf/cd=bp
/bc ab=pe+pf
(3)不成立

Answer 2

证：∵AD∥BC, AB=DC,∴ABCD为一等腰梯形。 （1）∵P,E,F是BC,AC,BD的中点，∴PE∥AB, PF∥DC, 且PE=(1/2)AB, PF=(1/2)DC=(1/2)AB. ∴AB=PE+PF. (2)∵PE∥AB, ∴PE=(PC/BC)AB; 又∵PF∥DC,∴PF=(BP/BC)DC=(BP/BC)AB , ∴PE+PF=[(BP+PC)/BC]AB=AB (3)当P在BC的延长线上时，PE=(PC/BC)AB, PF=(PB/BC)AB, ∴AB≠PE+PF. AB=PF-PE

Answer 3

解：（1）：∵在三角形ABC中P、E分别为BC、AC的中点 ∴PE=1∕2AB 同理：PF=1∕2DC 又AB=DC
∴PF＋PE=1∕2DC＋1∕2AB=AB
(2)：(如果F在BD上)成立 ∵PE∥AB ∴PE／AB＝PC／BC
∴PE＝﹙PC／BC﹚AB 同理：PF∥DC ∴PF＝﹙PB／BC﹚DC
又∵AB＝DC ∴PF＋PE＝[﹙PB＋PC﹚／BC]AB＝AB
(3)：(如果E、F分别在AC、BD上)不成立。
∵如果PF∥CD 又P在BC延长线上，∴CD／PF＝BC／BP
又BC﹤BP ∴CD／PF＝BC／BP＜1 CD＜PF
∵AB＝DC ∴PF＞AB 即：AB＜PF＋PE