Question

高等数学，函数的连续性证明问题

如图中，第七题中，第二张图中这一步是如何得出的？limf(rn)=lim(rn)=r为什么会有limf（sn）=lim(0)=0?

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Answer 1

若f(x,y)在原点有极限，则(x，y)沿任何方式趋于原点(0,0)时，f(x,y)都有同样的极限值。
注意上面是以任何方式。因此经常用这个结论的逆否命题来证明f(x，y)在(0,0)没有极限。
就是:找两个(x，y)趋于原点的方式，使得f(x,y)在此两种方式下收敛到的极限值不同，
这就能说明f(x，y)在原点没有极限。
与之类似，只要能找到一种方式，使得f(x，y)在此种方式下的极限值与函数值不同，
就能说明f(x,y)在原点不连续。观察函数表达式可以知道，
取y=x^3时，函数极限是1/2，不等于函数值f(0,0)=0，因此函数不连续。