设A是可逆矩阵,证明(A*)^(-1)=(A^(-1))^*
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AA*=A*A=|A|E(*为上角标表示伴随矩阵)
有A*(A/|A|)=E
所以(A*)^-1=A/|A|……(1)
A^-1(A^-1)*=|A^-1|E(其中|A^-1|=1/|A|)
故A^-1(A^-1)*=E/|A|
两边左乘A
得(A^-1)*=A/|A|……(2)
由(1)(2)式知(A*)^-1=(A^-1)*
有A*(A/|A|)=E
所以(A*)^-1=A/|A|……(1)
A^-1(A^-1)*=|A^-1|E(其中|A^-1|=1/|A|)
故A^-1(A^-1)*=E/|A|
两边左乘A
得(A^-1)*=A/|A|……(2)
由(1)(2)式知(A*)^-1=(A^-1)*
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