Question

1+1/根号3+1/根号5+........+1/根号（2n+1）收敛性

给出证明。。谢谢！不懂的不要胡乱答

Answer 1

该级数发散。
先给出定理（积分判敛）：设f(x)恒正，且在（1，正无穷）单调减，记Un=f(n)，则正项级数∑Un与积分∫f(x)dx,（积分下限为1，上限正无穷），有相同的敛散性。
证明：现显然，上述级数满足f(x)=1/[(2x+1)^0.5],对f(x)在1到+∞积分，则证完。

Answer 2

不知你是否知道拉贝判别法,此题不能用比式或根式判别法.
拉贝判别法
lim(n*(1-a(n+1)/a(n)))=r,
r>1,a(n)收敛;r<1,a(n)发散.

此题中a(n)=sqrt(2n+1)
可求得
lim(n*(1-a(n+1)/a(n)))=1/2,
因此原级数发散.

也可直接利用柯西准则.