Question

几道立体几何题

1正方体ABCD-A1B1C1D1八个顶点在球O表面上，且球O体积为4根号3π，求四棱锥O-ABCD的体积
2已知三棱锥S-ABC的各顶点都在一个半径为r的球面上，球心O在AB上，SO⊥面ABC，AC=（根号2）r，则球的体积与三棱锥体积之比是
3已知长方体ABCD-A1B1C1D1内接于球O,底面ABCD是边长为2的正方形，E为AA1的中点，OA垂直平面BDE，则球O面积为
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Answer 1

1

V球=4π/3*R³=4√3π ==>R³=3√3==>R=√3

正方体ABCD-A1B1C1D1八个顶点在球O表面上

∴正方体的体对角线AC1=2√3  ∴棱长AB=2

四棱锥O-ABCD的高即球心O到ABCD的距离为1

∴VO-ABCD=1/3*AB²*1=4/3

2

∵球心O在AB上

∴平面ABC与球的截面为大圆

  且∠ACB=90º,AB=2R

∵AC=√2R,∴BC=√(AB²-AC²)=√2R

∴SΔABC=1/2*(√2R)²=R²

∵SO⊥面ABC

∴VS-ABC=1/3*R*R²=R³/3

∵V球=4πR³/3

∴球的体积与三棱锥体积之比是

  (4πR³/3)/(R³/3)=4π

3

∵长方体ABCD-A1B1C1D1内接于球O,

∴球心O是AC1中点

∵ABCD是边长为2的正方形，

∴BD=2√2 ，

 设BD中点为O‘,连接OO'

∴OO'⊥平面ABCD

∵E为AA1的中点，

∴AE//OO', AE=OO'

∴AO'OE为矩形

∵OA垂直平面BDE

∴OA⊥EO'

∴AO'OE为正方形

∴AO=√2 AO'=2

 即球O的半径R=2

∴球O面积4πR²=16π

Answer 2

[[1]]
4/3
[[2]]
4π
[[3]]
16π

Answer 3

第一题4/3。第二题4派/3。第三题32派/3。