Question

数学分析5 ，6两题

Answer 1

五、狄利克雷收敛定理：若数列{an}单调且趋向于0，且∑bn有界，则∑anbn收敛
因为{1/√n}单调递减，lim(n->∞)1/√n=0

且|∑sinn|=|[1/sin(1/2)]*∑[sinn*sin(1/2)]|
=|[1/sin(1/2)]*∑[cos(n-1/2)-cos(n+1/2)]/2|
=|cos(1/2)-lim(n->∞)cos(n+1/2)|/2sin(1/2)
<=[|cos(1/2)|+|lim(n->∞)cos(n+1/2)|]/2sin(1/2)
<1/sin(1/2)
即∑sinn有界
所以根据狄利克雷收敛定理，∑sinn/√n收敛
因为|sinn/√n|=|sinn|/√n
>=[(sinn)^2]/√n
=(1-cos2n)/2√n
=1/2√n-cos2n/2√n
且∑1/2√n发散，并由前面的证法同理可得∑cos2n/2√n收敛
所以∑|sinn/√n|发散
综上所述，∑sinn/√n条件收敛
六、令f(x)=∑(n=0->∞)x^n/n
f'(x)=∑(n=1->∞)x^(n-1)=∑(n=0->∞)x^n=1/(1-x)
所以和函数f(x)=ln(1-x)
R=lim(n->∞) |(1/n)/[1/(n+1)]|=1

当x=1时，∑1/n发散
当x=-1时，∑(-1)^n/n收敛
所以收敛域为[-1,1)

Answer 2

比较一般的结论是若f(x)是[a,b]上的严格凹函数,(a,b)内的两点x,y满足x+y=a+b,那么f(x)+f(y)>f(a)+f(b),证明很简单,直接按凹函数的定义,用f(a)和f(b)去表示f(x)和f(y)就行了