Question

多元复合函数(2010年考研数学二第19题)——自创解法漏洞探讨，高数牛人进！

题目(2010年考研数学二第19题)和书上的参考答案（见图1）。我第一次解此题时就用了与书上完全不同的解法，因此解法结果正确且计算量不到书上的一半，所以我很重视我自己想出的解法。但此解法有些疑点，想请数学大牛来分析一下，这种解法是否有漏洞和不合理的地方，或者该如何改进。我的第一次解答（见图2），我是用于课本相反方向为思路解答的。但有个棘手的漏洞，就是我的解法只有在a≠b时，方程才能成立，而证明a=b时不符合题目条件（见图3）计算量很大，就失去了节省计算量的意义了。于是我第二次解答（见图4），用一个我自己都没见过的偏导数写法，来避开a≠b，但不知道这么解（写）是不是有问题？会不会被扣分，甚至不被认可呢？请高数牛人指点，若认为此解法（图4）没有问题则给出合理解释。(不能灌水说一句，对的对的就这样，我就采纳了，这是自欺欺人)如果有疑点请指出。如果可以提出改进意见，还可以另外提问高分悬赏。先悬赏100分吸引人，如果有高手进来再提高悬赏200或255，我财富值很多绝对给得起（见图5）
简化提问如下：(先看这里吧)
（图1）是“2010年考研数学二第19题”书上的参考答案。
（图2）是我第一次的解答，但有a=b时的情况没解决。
（图3）是a=b时的情况，但计算量太大，这样搭配无意义。
（图4）是我第二次解答此题，“成功”避开a=b的情况。
请教高数牛人：如何成功的应用这种计算量小的解法，且没有漏洞，能让判卷老师信服。
有其他需求(¥)可以提出，重要的是能得到解答！

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Answer 1

（1）你的方法的问题在于最后联立等式后得出了3个系数的比例为4:12:5。
我印象中没有这样的定理，即：两个等式相等，对应的系数一定成比例。
多项式的相等代表的是对任意的变量，等式都要恒等，何况这里都是抽象的函数（没有具体表达式）。
（2）即使将错就错，我想了一个例子：u=-5x^2+4y^2，满足题目的要求，但是按照图2④式推导，只要求10ab=8就衡成立了。这时可以看出，ab的解就是无穷多的，你的方法造就了无穷多解。
（3）原问题最后并不是用了等式相等，所以系数比例为0:0:0，而是为了保证等式恒等于0（变量任意变化，值恒为0），所以只能系数等于0。

追问

（1）三个数的比值式相当于是两个方程，可以解出。
-ab:(a+b):-1 = 4:12:5，还有一个-1的非零常数，所以排除a或b为0。
可以修改题目的4、12、5，只要最终答案a≠b且ab≠0，可以确定两种解法解得的结果完全一致。
（2）这是“微分方程”，我没看出来你的举例是怎么成立的。
（3）原问题是将原方程的微分变量换成目标方程的形式来定系数，我是将目标方程反过来变成原方程。我认为这是逆向对称的，只是我的方程有个a=b时的鸡肋。

追答

我的例子u=-5x^2+4y^2满足题目的已知条件（等式③），代入你图二等式④，推出10ab=8，得出ab并不一定要满足你得出比例关系。
我举这个例子，只是想说明，没有定理给出两个等式相等，相应系数一定成比例。
你这样做就像线性代数一样，只是得到了一个特解（系数成比例）。
选择题是可以去选答案，大题这样写要被扣分吧。

追问

10ab=8，那么不就是ab=4/5吗？和书上的结果及我的解答完全吻合啊。
我的解答是，要使目标方程成立，当a≠b时则必须使④式成立，实际上a=b时由图3可以证明不能使③(题目条件)、④式同时成立。
要④式成立，其实就是④式的分子=0成立。④式的分子（④用f''的写法和③的偏导写法本质相同）其实与③式有着完全一致的变量（且一个不多一个不少），那我只能认为两者系数必须成比例。
我想问图4这种解法。

虽然没能解决问题，但还是谢谢你的探讨。不过你说的我的式子"比例关系"不正确理由不充分。我认为我的比例式得到的答案没有问题，完全正确，问题在于a=b时。

Answer 2

这个题里很明显a≠b，如果相等那两个（那两个手机打不出来的符号）变量组成的系数矩阵秩为一，意味着不能相互线性表示啊。

Answer 3

虽然你应该已经考完了并且可能这个问题也已经被解答了，但我还是想提一下，题目里没有说a, b≠0吧，不知道a, b是不是不为0，那你就不能在一开始通过消元把x, y解出来是不是？所以应该只能顺着思路来，不能逆向

Answer 4

我也是用和解答方法完全相反的思路，就和你的图二一样的方法，正在迷茫a不等于b的时候搜百度，看到了你的答案

Answer 5

深入探讨研究还是去专门的贴吧更好。

追问

那有哪些贴吧和平台比较适合讨论这些问题呢？贴吧我也取看过，对于专业问题，大多数人都是胡说八道的。我这个问题，只适合业内人士回答。
所以我在这提问就是希望碰到专业人士。

追答

学院里才会有真高端，知道这最多是中高端，有老师不问跑这问…
算不算捧着金饭碗讨饭？