Question

概率的问题，求高手解答

一套卡片有8种，每种出现的概率不同（设权重分别为A1,A2，A3，A4，A5，A6，A7，A8),求集齐一套卡片需要抽卡的次数期望。

举个例子，这八种卡片出现的概率为：6种卡片出现概率为10%，2种卡片为20%。

希望能给出算法谢谢
我问题里的权重指的是抽到每种卡片的概率，抽到的概率大权重就高。
所有卡片权重都为1（即抽到的概率都为0.125）时的期望已经算出来了，是22次多一点（已经通过模拟验证正确），现在要求的是概率不等的情况。

Answer 1

每张卡片抽取次数都服从几何分布，期望分别是其概率的倒数。
集齐一套共8种的次数期望就是上面那8个期望的和，即8个概率的倒数之和。

追问

不好意思，明显不对啊。怎么还有人赞同

Answer 2

不知楼主还来不来了，这个需要借助生成函数（母函数）的。
结论是这样：
比如说2个，概率分别为a、b，那么需要：
1/(1-a) + 1/(1-b) - 1
3个，概率a、b、c，那么需要：
1/(1-a-b) + 1/(1-b-c) + 1/(1-c-a) - 1/(1-a) - 1/(1-b) - 1/(1-c) + 1
4个，需要：
1/(1-a-b-c) + 1/(1-b-c-d) + 1/(1-c-d-a) + 1/(1-d-a-b) - 1/(1-a-b) - 1/(1-a-c) - 1/(1-a-d) - 1/(1-b-c) - 1/(1-b-d) - 1/(1-c-d) + 1/(1-a) + 1/(1-b) + 1/(1-c) + 1/(1-d) -1
你看到其中的规律了，照着写就行了。8个的话，一共有 2^8 - 1 = 255 项。

Answer 3

把问题转化为一个排列组合问题，每一种卡片都要抽到相当于对这些卡片进行了一个排列，然后计算概率得：8的阶乘在乘于0.1的6次方乘于0.2的2次方。
期望次数等于 以上概率的倒数。

追问

你这个算法我也试了 用8种都是0.125来试
现在已经算出八种都0.125的时候期望是22次多（这个22次的期望算法已经经过验证没错，而且模拟器验证也符合），但是用这个排列组合算出来的多了十倍不止，又想不出哪里错了

Answer 4

首先 A1+A2+....+A8=1

假设抽取N次完成，那么N次里面出现第一张卡的概率是 N*A1 ,同时出现 一二章卡的概率是 N*A1*(N-1)A2
所以同时出现所以卡的概率是P=N*A1*（N-1）A2*...*(N-8)*A8
当P=1时，事件必然发生
所以P=N*A1 *（N-1）A2 * ... * (N-8)*A8=1

我只能先算到这一步了，帅哥能解这个方程么？（N*A1） * ((N-1)*A2) * ... * ((N-8)*A8)=1

Answer 5

 

追问

还是不对呀。等概率的情况我已经算出来了8种的期望是22次多一点，现在要求的是不等概率。而且等概率的代入验算也不对啊。