Question

今天考试的一道题，连第一问都不会写 求天才来解答

正方形ABCD中,P为AB边上任一点,AE⊥DP于E,点F在DP的延长线上，且DE=EF,连接AF、BF，∠BAF的平分线交DF于G，连接GC。
（1）求证：△AEG是等腰直角三角形；
（2）求证：AG+CG=√2DG
（3）若AB=2，P为AB的中点，求BF的长

Answer 1

（1）AG 是∠BAF的平分线，所以∠FAG=∠GAP；因为AE⊥DP于E，∠BAD是直角，所以
∠PAE=∠ADE（同角的余角相等）；因为,AE⊥DP，且DE=EF所以AF=AD，∠AFG=∠ADF；
因为∠AGE=∠AFG+∠FAG（三角形外角定理），∠GAE=∠PAE+∠GAP所以∠AGE=∠GAE
（等量加等量和相等）所以AE=GE，△AEG是等腰直角三角形。
（2）作CH垂直与DF，垂足为H。AG²=AE²+GE²，AE=GE，所以AG=√2AE

直角△CHD≌直角△DEA（角角边）所以DH=AE，CH=DE；因为AE=EG，所以CH=GH（DE=GH), 在直角三角形GHC中CG²=AH²+GH²=2GH²，CG=√2GH=√2（GD-DH） =√2GD-√2DH 因为DH=AE
AG=√2AE，所以AG+CG=√2DG.
3）过点B作BM⊥DF，垂足为M。
△BMP≌△AEP（角角边）所以PM=PE，BM=AE；
DP＝√2²＋1²＝√5，AE＝2×1÷√5＝2／√5，PE＝PM＝√（1²－4／5）＝1／√5
ED＝√5－1／√5＝4／√5，FM＝FE－（MP＋PE）＝BE－2×PM＝　　　　　　　　4／√5－1／√5×2＝2／√5
BF²＝FM²＋BM²＝4／5＋4／5＝4／5
BF＝2√10／5

，

Answer 2

（1）依题意得
角AGD=角AFD+角FAG
易证三角形AFE全等三角形ADE 所以 角AFD=角ADF
易证三角形APE相似三角形DAE 所以 角PAE=角ADF
所以 角AGD=角FAG+角PAE 又因为 角FAG=角GAP
所以 角AGD=角GAP+角PAE=角GAE 又因为 角AEG=90度
所以 角AGD=45度=角GAE 所以三角形AEG是等腰直角三角形
（2）作CH垂直与DF
由（1）得AE=GE 所以 DG=AE+DE 所以根号2（DG）=根号2（AE）+根号2（DE）
AG=根号2（AE）
[]接下来就证明根号2（DE）=CG[]
易证三角形CHD全等三角形DEA 所以DH=AE=GE
AE=AE 所以DE=HG
易证 角 HCB=角APH 角APH=角AGH+角GAP 角HCB=角HCG+角BCG
所以角AGH=角HCG=45度 角GAP=角GCB
所以等腰直角三角形CGH 所以 CG=根号2（GH）=根号2（DP）
所以 AG+cG=根号2（DG）
（3）
不会 不知道是不是2根号2 你们的题目也太难了吧 我花半个小时才这点进展