线性代数证明题:设向量组a1,a2,a3,......as的秩为r1,向量组β1,β2,.....βt的秩为r2,(接下面)

向量组a1,a2,...as,β1,β2,...βt的秩为r3,证明:max{r1,r2}≦r3≦r1+r2O(∩_∩)O谢谢!... 向量组a1,a2,...as,β1,β2,...βt的秩为r3,证明:
max{r1,r2}≦r3≦r1+r2
O(∩_∩)O谢谢!
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mscheng19
推荐于2017-12-16 · TA获得超过1.3万个赞
知道大有可为答主
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向量组的秩不会超过整个向量组的秩,因此
max{r1,r2}<=r3。
取第一个向量组的一个极大无关组,不妨设为
a1,a2,。。。,ar1
取第二个向量组的一个极大无关组,不妨设为
β1,β2,。。。,βr2,
则第三个向量组可由向量组
a1,a2,。。。,ar1,β1,β2,。。。,βr2
线性表出,因此r3<=上面向量组的秩<=r1+r2.
追问
谢谢
我还想问一道题,
设向量组a1,a2,a3线性无关,向量β≠0满足(ai,β)=0,i=1,2,3,判断向量组a1,a2,a3,β的线性相关性。
均与≦β正交,不是线性无关吗?
追答
判断四个向量的无关性?答案是无关。
设k1a1+k2a2+k3a3+k4b=0,(*)
等式与b做内积(即左乘b^T)得
k1*0+k2*0+k3*0+k4(b,b)=0,
因为(b,b)不为0,于是k4=0,
代入(*)式,由a1,a2,a3的无关性知道
k1=k2=k3=0,因此四个向量无关。
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