Question

设α_1， α_2，α_3，⋯，α_m是其次线性方程组Ax=0的基础解系，β是非齐次线性方程组Ax=b

设，〖α_(1，) α〗_2，α_3，⋯，α_m是其次线性方程组Ax=0的基础解系，β是非齐次线性方程组Ax=b（b≠0）的一个特解，证明向量组α_1+β，α_2+β，⋯，α_m+β，β线性无关。“_”是指下标，求解谢谢
设α_1，α_2，α_3，⋯，α_m是其次线性方程组Ax=0的基础解系，β是非齐次线性方程组Ax=b（b≠0）的一个特解，证明向量组α_1+β，α_2+β，⋯，α_m+β，β线性无关。

Answer 1

证明: 设 k1(α1+β)+k2(α2+β)+⋯+km(αm+β)+kβ = 0
则 k1α1+k2α2+⋯+kmαm+ (k1+k2+...+km+k)β = 0.
等式两边左乘A, 由已知Aαi=0, Aβ=b得
(k1+k2+...+km+k)b = 0
因为 b≠0, 所以 k1+k2+...+km+k = 0
所以 k1α1+k2α2+⋯+kmαm = 0
由于 α1，α2，α3，⋯，αm 线性无关
所以 k1=k2=...=km=0
再由 k1+k2+...+km+k = 0 得 k = 0.
故 向量组α1+β，α2+β，⋯，αm+β，β线性无关.

Answer 2

不知道